На головну

Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей.

  1. Акціонерні про-ва. Порівняння корпор-ого управління в США і Росії.
  2. Алгоритми пошуку та їх порівняння.
  3. Алгорнітми сортування і їх порівняння.
  4. Нескінченно великі і нескінченно малі функції, порівняння нескінченно малих, зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями.
  5. У нормальних умовах цикл сон-неспання коригується світловим днем
  6. На відміну від морфологічного типу порівняння _____________ порівняння не тільки зіставляє форми, а й передбачає аналіз їх вмісту.
  7. Види дисперсій та правила їх складання.

На практиці завдання порівняння дисперсій виникає, якщо потрібно порівняти точність приладів, інструментів, самих методів вимірювань і т. Д. Очевидно, краще той прилад, інструмент і метод, який забезпечує найменший розсіювання результатів вимірювань, т. Е. Найменшу дисперсію.

Нехай генеральні сукупності X і Y розподілені нормально. За незалежними вибірками з обсягами, відповідно рівними n1 і n2, Добутих з цих сукупностей, знайдені виправлені вибіркові дисперсії sx2 і sy2. Потрібно за виправленим дисперсія при заданому рівні значимості ? перевірити нульову гіпотезу, яка полягає в тому, що генеральні дисперсії розглянутих сукупностей рівні між собою: H0: D (X) = D (Y)

З огляду на, що виправлені дисперсії є незміщеними оцінками генеральних дисперсій, т. Е. ? [sx2] = D (X) і ? [sy2] = D (Y) нульову гіпотезу можна записати так: H0: ? [sx2] = ? [sy2]

Таким чином, потрібно перевірити, що математичні очікування виправлених вибіркових дисперсій рівні між собою. Таке завдання ставиться тому, що зазвичай виправлені дисперсії виявляються різними. Виникає вопррс: значимо (істотно) або незначимо розрізняються виправлені дисперсії?

Якщо виявиться, що нульова гіпотеза справедлива, т. Е. Генеральні дисперсії однакові, то відмінність виправлених дисперсій незначимо і пояснюється випадковими причинами, зокрема випадковим відбором об'єктів вибірки. Наприклад, якщо відмінність виправлених вибіркових дисперсій результатів вимірювань, виконаних двома приладами, виявилося незначним, то прилади мають однакову точність.

Якщо нульова гіпотеза відкинута, т. Е. Генеральні дисперсії неоднакові, то відмінність виправлених дисперсій значуще і не може бути пояснено випадковими причинами, а є наслідком того, що самі генеральні дисперсії різні. Наприклад, якщо відмінність виправлених вибіркових дисперсій результатів вимірювань, проведених двома приладами, виявилося значущим, то точність приладів різна.

Як критерій перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій приймемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої, т. Е. Випадкову величину F = Sб2/ Sм2

Величина F за умови справедливості нульової гіпотези має розподіл Фішера - Снедекора зі ступенями свободи k1= n1-1 І k2= n2-1, Де n1- Обсяг вибірки, по якій обчислена велика виправлена ??дисперсія, n2 - Обсяг вибірки, по якій знайдена менша дисперсія. Нагадаємо, що розподіл Фішера - Снедекора залежить тільки від чисел ступенів свободи і не залежить від інших параметрів.

Критична область будується в залежності від виду конкуруючої гіпотези.

Перший випадок. Нульова гіпотеза H0: D (X) = D (Y). Конкуруюча гіпотеза H1: D (X)> D (Y).

В цьому випадку будують односторонню, а саме правостороннім, критичну область, виходячи з вимоги, щоб ймовірність попадання критерію F в цю область в припущенні справедливості нульової гіпотези дорівнювала прийнятому рівню значущості: P [F> Fкр(?; k1, k2 )] = ?.

Критичну точку Fкр(?; k1, k2 ) Знаходять по таблиці критичних точок розподілу Фішера - Снедекора, і тоді правобічна критична область визначається нерівністю F> Fкр, А область прийняття нульової гіпотези - нерівністю F кр.

Позначимо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої, обчислене за даними спостережень, через Fнабл і сформулюємо правило перевірки нульової гіпотези.

Правило 1. Для того щоб при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезу H0: D (X) = D (Y) про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей при конкуруючої гіпотезі H1: D (X)> D (Y), треба обчислити відношення більшої виправленої дисперсії до меншої, т. Е. Fнабл= sб2/ sм2, І по таблиці критичних точок розподілу Фішера - Снедекора, за заданим рівнем значущості ? і числах ступенів свободи k1 і k2 (k1 число ступенів свободи більшої виправленої дисперсії) знайти критичну точку Fнабл(?; k1, k2 ).

якщо Fнаблкр - Немає підстав відкинути нульову гіпотезу. якщо Fнабл> Fкр - Нульову гіпотезу відкидають.

Другий випадок. Нульова гіпотеза H0: D (X) = D (Y). Конкуруюча гіпотеза H1: D (X) ? D (Y).

В цьому випадку будують двосторонню критичну область, виходячи з вимоги, щоб ймовірність попадання критерію в цю область в припущенні справедливості нульової гіпотези дорівнювала прийнятому рівню значущості ? ..

Як вибрати кордону критичної області? Виявляється, що найбільша потужність (ймовірність попадання критерію в критичну область при справедливості конкуруючої гіпотези) досягається тоді, коли ймовірність попадання критерію в кожний з двох інтервалів критичної області дорівнює ? / 2.

Таким чином, якщо позначити через F1 ліву кордон критичної області та через F2 - Праву, то повинні мати місце співвідношення (рис.): P (F 1) = ? / 2, Р (F> F2) = ? / 2.

Ми бачимо, що досить знайти критичні точки, щоб знайти саму критичну область: F 1, F> F2, А також область прийняття нульової гіпотези: F1 2. Як практично відшукати критичні точки?

Праву критичну точку (F? = Fкр) = (? / 2; k1, k2) Знаходять безпосередньо по таблиці критичних точок розподілу Фішера - Снедекора за рівнем значущості ? / 2 і ступенями свободи k1 і k2.

Однак лівих критичних точок ця таблиця не містить і тому знайти F1 безпосередньо по таблиці неможливо. Існує спосіб, що дозволяє подолати це утруднення. Однак ми не будемо його описувати, оскільки можна ліву критичну точку і не відшукувати. Обмежимося викладом того, як забезпечити потрапляння критерію F в двосторонню критичну область з ймовірністю, яка дорівнює прийнятому рівню значущості ? ..

Виявляється, достатньо знайти праву критичну точку F2 при рівні значущості, удвічі меншому заданого. Тоді не тільки ймовірність потрапляння критерію в «праву частину» критичної області (т. Е. Правіше F2) Дорівнює ? / 2, але і ймовірність попадання цього критерію в «ліву частину» критичної області (т. Е. Лівіше F1) Також дорівнює ? / 2. Так як ці події несумісні, то ймовірність попадання розглянутого критерію у всю двосторонню критичну область буде дорівнює ? / 2 + ? / 2 = ?.

Таким чином, в разі конкуруючої гіпотези H1: D (X) ? D (Y) досить знайти критичну точку

F2 = Fкр(? / 2; k1, k2).

Правило 2. Для того щоб при заданому рівні значущості а перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій нормально розподілених сукупностей при конкуруючої гіпотезі Н1: О (Х) ? D (У), треба обчислити відношення більшої виправленої дисперсії до меншої, т. Е. Fнабл= sб2/ sм2 і по таблиці критичних точок розподілу Фішера-Снедекора за рівнем значущості а ? / 2 (вдвічі меншому заданого) і числах ступенів свободи k1 і k2 (k1число ступенів свободи більшої дисперсії) знайти критичну точку Fкр(? / 2; k1, k2).

якщо Fнаблкр -Ні підстав відкинути нульову гіпотезу. якщо Fнабл> Fкр -нулевую гіпотезу відкидають.

 



Залежність між випадковими величинами. Кореляційний залежність і рівняння регресії. | Порівняння виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною генеральною дисперсією нормальної сукупності.

Функція розподілу ймовірностей і її властивості. | Щільність розподілу ймовірностей НСВ і її властивості. | Математичне сподівання, дисперсія та СКО безперервних СВ. | Числові хар-ки пор. значення декількох взаємно незалежних однаково розподілених СВ. | Нормальний розподіл НСВ. Ймовірність влучення нормально розподіленої СВ в заданий інтервал. | Генеральна сукупність і вибірка. Статистичний розподіл. Емпірична функція розподілу. Полігон і гістограма. | Точкові оцінки параметрів розподілу. Метод моментів. | Точкові оцінки параметрів розподілу. Метод найбільшої правдоподібності. | Б. НСВ. | Методи розрахунку характеристик вибірки. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати