Головна

Повторення випробувань. Формула Бернуллі. Наближена формула Пуассона.

  1. I. Повторення вивченого в 5-8 класах.
  2. III Фаза клінічних випробувань.
  3. Microsoft Word: Робота з формулами
  4. А) Додавання і множення ймовірностей. Повна ймовірність. Формула Байєса.
  5. Абсолютно чорне тіло. Формула Релея-Джинса.
  6. Адіабатичний процес. Рівняння Пуассона. Графік адіабатичного процесу.
  7. Альдегіди, загальна формула. Хімічні властивості. Отримання, застосування мурашиного і оцтового альдегідів.

Нехай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких брало подія А може з'явитися або не з'явиться. Вер-ть події А в кожному випробуванні однакова і = р. Вер-ть ненастання події А = q = 1-р. обчислимо вер-ть того, що при n випробуваннях подія А здійсниться рівно k раз.

Припустимо, що подія А з'явилося в кожному з k випробуваннях і не з'явилося в інших n-k випробуваннях. Т. к. Результат випробування в кожному з n випробувань не залежить від результату в будь-якому іншому випробуванні, то вір-ть такого складного події = твору вер-тей, т. Е .: = рk· qn-k

Число цих складних подій = числу поєднань з n ел-тів по k Ел-тов. Ці складні події не спільний, тому вер-ть суми цих подій = сумі їх вер-тей, а т. К. Все слоган рівні між собою, то можна одне з них помножити на кількість:  (1) - ф. Бернуллі

Приклади.

1. Реш-е: А - день дощовий

р = р (А) = 12/30 = 2/5; q = 3/5;

2. Реш-е: Вер-ть народження М: р-1-q = 1-0,482 = 0,518.

«Не менше трьох М» = «3М» та «4М» (події несумісні). Тому

зауваження 1. Вер-ть Рn(K) при даному n спочатку ^ при зміні 0?k?k0, а потім v при зміні k від k0 до n. Тому k0 називається найімовірніше число настання успіху в n досвідах. Це число k0= Цілої частини числа (n + 1) · р, якщо число (n + 1) · р - ціле, то найімовірніше явл-ся також число k0-1 З тієї ж вер-ма Рn(K).

Приклад 3. Реш-е: k0= (N + 1) · р; n = 7; p = 2/3; k0= 8 · 2/3 = 16/3 = 5

Зауваження 2. У тому випадку, коли n велике, а p мало (р <0,1; npq?9) замість формули Бернуллі застосовують наближену формулу Пуассона:

 Формула Пуассона исп-ся в задачах, що відносяться до рідкісних подій.

Приклад 4. Реш-е: р = 0,001, n = 5000; q = 0,009; npq = 5000 · 0,001 · 0,009 = 0,045 <9; ? = 5

Р5000(2?k?5000) -? Знайдемо вер-ти попадання в ціль однієї кулі і жодної: Р5000(0) ? (50/0!) · Е-5-5

Р5000(1) ?5 (1/1!) · Е-5?5е-5; Р5000(2?k?5000) ?1-е-5-5е-5= 0,9596

13. Локальна та інтегральна теореми Лапласа. Вер-ть відхилення відносної частоти від постійної вер-ти в незалежних випробуваннях.

При великому числі випробувань застосування формули Бернуллі пов'язано з великими вирахує. труднощами. Для цього випадку исп-ся лок. теорема Лапласа. Для окремого випадку (р = 1/2) наближена (асимптотична) була знайдена Абрахам Муавром в 1730г. У 1783 Лаплас Обощая формулу Муавра для довільного р ? 0 і ? 1. Тому теорему називають іноді т. Муавра-Лапласа.

Локк. теорема: Якщо вер-ть р появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то вір-ть Рn(K) того, що подія А з'явиться в n випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює  (Тим точніше, чим більше n) значенням ф-ції:  при х = (k-np) / (npq)1/2

Вер-ть: Рn(K) ? (1 / (npq)1/2) · ? (х)

приклад 1. Реш-е: q = 1-0,15 = 0,85, р = 0,15, n = 200, k = 20

 По таблиці: ? (х) ?0,0562 => Р200(20) ?0,0562 / (30 · 0,85) = 1,112 · 10-2

Ітегра. теорема

Якщо за умов лок. теореми потрібно обчислити вер-ть того, що подія з'явиться не менше k1 і не більше k2 раз, то рішення цього завдання дає интегр. теорема Лапласа.

Теорема. Якщо вер-ть настання події А в кожному випробуванні постійна і ? 0 і ? 1, то вір-ть Рn (k1, k2) Того, що подія А з'явиться в випробуваннях від k1 до k2 раз, приблизно дорівнює певному інтегралу  , Де х1= (K1-np) / (npq)1/2; x2= (K2-np) / (npq)1/2.

При обчисленні інтеграла можна скористатися формулою Ньютона-Лейбніца, т. К. Інтеграл виявляється у елементарних ф-ціях.

Для ф-ції  , К-раю називається ф-цією Лапласа є табл. ф (х) = - ф (х)

Вер-ть:  Т. о. Рn (k1, k2) ?ф (х2) -ф (х1), де х1= (K1-np) / (npq)1/2; x2= (K2-np) / (npq)1/2.

ф (х) -ф-ція Лапласа

Приклад 2.Реш-е: р = 0,12, q = 0.88; n = 500, k1= 0, k2= 50.

Зауваження. Справедлива слід. наближена формула: р (| (m / m) -р | ??) ?2ф (? · (n / pq)1/2) - Формула вер-ти відхилення відносить. частоти від постійної вер-ти в незалежних випробуваннях (m / n-відносить. частоти)

приклад 3. Реш-е: р (| (m / m) -0,5 | ??) ?0,92 => 2ф (0,01 · v (n / 0,5 · 0,5)) ?0,92; ф (0,02 · vn) ?0,46; 0,02 · vn = 1,74; vn = 87; n = 7569

 



Теорема додавання ймовірностей сумісних подій | Випадкові величини. Їх види та закони розподілу. МО ДСВ і його імовірнісний сенс.

Предмет теорії ймовірностей. Достовірні, неможливі і випадкові події. Види випадкових подій. | Класичне визначення В-ти. Св-ва В-ти. | Основні формули комбінаторики. Приклади безпосереднього обчислення ймовірностей | Приклади безпосереднього обчислення ймовірностей | Відносна частота. Стійкість відносної частоти | Теорема додавання ймовірностей несумісних подій | Теорема множення ймовірностей. | Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій | властивості МО | Дисперсія і СКО ДСВ. Св-ва дисперсії. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати