Головна

Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій

  1. B) Імовірність їх появи не залежить від появи інших подій.
  2. M - кількість біт, N - кількість незалежних кодованих знань.
  3. А) визначення процедур і методів по ослабленню негативних наслідків ризикових подій і використання своїх переваг;
  4. Алгебра випадкових подій, діаграми Вьенна-Ейлера.
  5. алгебра подій
  6. Алгебра подій. Правила додавання і множення ймовірностей
  7. Аналітичне моделювання, класифікація імовірнісних систем, подій і потоків

Нехай ймовірність події В не залежить від появи події А.

Подія В називають незалежним від події А, якщо поява події А не змінює ймовірності події В, т. е. якщо умовна ймовірність події В дорівнює його безумовній ймовірності: Ра (В) = р (В)

Отже, якщо подія Не залежить від події А, то і подія А не залежить від події В; це означає, що властивість незалежності подій взаємно.

Для незалежних подій теорема множення р (АВ) = р (А) Ра (В) має вигляд р (АВ) = р (А) р (В), (1) т. Е. Ймовірність спільного появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Рівність (1) приймають в якості визначення незалежних подій.

Дві події називають незалежними, якщо ймовірність їх суміщення дорівнює добутку ймовірностей цих подій; в іншому випадку події називають залежними.

Приклад 1. реш-е А - випав «Г», В - випало парне число очок

Простір елементарних фіналів має вигляд: ? = {Г1, Г2, Г3, Г4, г5, г6, р1, р2, р3, р4, Р5, Р6}

Кожен результат равновозможен: р (Г1) = р (Г2) = ... = р (Р6) = 1/12

Подія АВ складається з 3х елемент. результатів: АВ = {Г2, г4, г6} => р (АВ) = 3/12 = 1/4 = 1/2 · 3/6

Т. к. Подія А {Г}, В = {1,4,6}, то р (А) = 1/2 і р (В) = 3/6 => р (АВ) = 1/4

Події А і В незалежні

Приклад 2. Рішення: А - на 1й кістки 6; В - на 2й кістки 6; р (А) = р (В) = 1/6

За ум. завдання А і В - незалежні => р (АВ) = р (А) · р (В) = 1/6 · 1/6 = 1/36

Якщо А і В незалежні, то незалежні також події А і В ', A і В, A і B'

Кілька подій називають попарно незалежними, якщо кожні два з незалежними. Наприклад, події А, В, з попарно незалежні, якщо незалежні події А верб, А і С, В і С.

Ніс-ко подій називають незалежними в сукупності (або незалежними), якщо незалежні кожні два з них і незалежні кожна подія і всі можливі твори інших. Наприклад, якщо події А1, А2, А3 незалежні в сукупності, то незалежні події А1иА2, А1иА3, А2иА3,; А1иА2А3, А2иА1А3, А3иА1А2. Якщо ніс-ко подій незалежні попарно, то звідси ще не слід їх незалежність в сукупності. в цьому сенсі вимога незалежності подій у сукупності сильніше вимоги з попарной незалежності.

теорема. Можливість спільного появи кількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Р (А1А2 ... An) = Р (А1) Р (А2). .. Р (Аn).

Доведення. Розглянемо три події: А, В і С. Поєднання подій А, В і С рівносильно поєднанню подій АВ і С, тому

р (АВС) = р (АВ · С).

Так як події А, В і С незалежні в сукупності, то незалежні, зокрема, події АВ і С, а також А і В. За теоремою множення для двох незалежних подій маємо: Р (АВ · С) = Р (АВ) Р (С) і

Р (АВ) = р (А) Р (В). Отже, остаточно отримаємо Р (ABC) = р (А) Р (В) Р (С).

Для довільного n доказ проводиться методом математичної індукції. ЧТД

Зауваження. Якщо події А1, А2, ..., Аn незалежні в сукупності, то й протилежні їм події A1, A2, ..., An також незалежні в сукупності.

Приклад 3. Рішення: А - з 1-го ящика вийнята станд. деталь, В - з 2-го ящика станд. деталь, С - з 3го ящика вийнята станд. деталь.

р (А) = 8/10; р (В) = 7/10; р (С) = 9/10, т. к. події А, в с С незалежні в сов-ти, то шукана вер-ть по теоремі множення дорівнює: р (АВС) = р (А) р (В) р ( С) = 0,8 · 0,7 · 0,9 = 0,504

 



Теорема множення ймовірностей. | Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Предмет теорії ймовірностей. Достовірні, неможливі і випадкові події. Види випадкових подій. | Класичне визначення В-ти. Св-ва В-ти. | Основні формули комбінаторики. Приклади безпосереднього обчислення ймовірностей | Приклади безпосереднього обчислення ймовірностей | Відносна частота. Стійкість відносної частоти | Теорема додавання ймовірностей несумісних подій | Повторення випробувань. Формула Бернуллі. Наближена формула Пуассона. | Випадкові величини. Їх види та закони розподілу. МО ДСВ і його імовірнісний сенс. | властивості МО | Дисперсія і СКО ДСВ. Св-ва дисперсії. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати