Головна

Інтерполяційний поліном Лагранжа

  1. Обчислення значення полінома ПО Схема Горнера
  2. Завдання циклічних кодів за допомогою коренів генераторного полінома.
  3. Інтегро-інтерполяційний метод побудови різницевих схем (метод балансу).
  4. Інтерполяція мн-н Лагранжа
  5. Інтерполяція функцій. Інтерпол. поліном Лагранжа
  6. Інтерполяціонная формула Лагранжа.
  7. Інтерполяційний многочлен Ньютона.

Якщо при побудові інтерполяційного полінома вибрати в якості базису одночлени, наприклад, 1, Х, х2, ..., Хn , Як це було зроблено вище, то в багатьох випадках система лінійних рівнянь для знаходження коефіцієнтів, виходить погано обумовленої (див. Главу 4). Наприклад, в разі рівномірного розподілу вузлів на відрізку [0, 1] послідовні ступеня х, х2... Майже лінійно залежні (почасти тому, що всі вони є позитивними і графіки всіх йдуть від точки (0, 0) до точки (1, 1). Ця близькість до лінійної залежності робить рішення лінійної системи при нормальній робочій точності вкрай важкою справою для порядку n, Що перевищує 10.

Більш зручний спосіб побудови інтерполяційного полінома заснований на виборі в якості базису лагранжевих полиномов.

Нехай задана таблиця {xi, yi}, i = 0, ..., N c довільним розташуванням вузлів x0 < x1 <... < xn .

Побудуємо допоміжний поліном n-го ступеня, який дорівнював би одиниці в вузловій точці x = xi , А у всіх інших вузлових точках дорівнював би нулю:

.

Якщо ввести позначення  , То допоміжний (Лагранжа) поліном запишеться у вигляді:

.

Тоді інтерполяційний поліном Лагранжа буде являти собою лінійну комбінацію цих допоміжних полиномов:

Очевидно, що основна умова інтерполяції виконується: Ln(xi)= yi .

На відміну від канонічного інтерполяційного полінома, для обчислення значень полінома Лагранжа не потрібно попереднього знаходження коефіцієнтів полінома шляхом вирішення системи рівнянь. Але для кожного значення аргументу x поліном Лагранжа необхідно перераховувати знову, а коефіцієнти канонічного полінома обчислюються тільки один раз.

У будь-якій точці, що не є вузлом інтерполяції, функція y буде відрізнятися від полінома Ln. Розглянемо похибка інтерполяційної формули Лагранжа Rn(x)= f(x) - Ln(x).

Теорема. якщо f(x) - Безперервна дифференцируемая n+1 Раз на відрізку [a, b] Функція, яка містить вузлові точки x0, x1, ..., xn , То для будь-якого xI [a, b] Знайдеться така точка xI [a, b], Що похибка

 . (2.5)

Доведення. Введемо в розгляд функцію

u(z) = f(z) - Ln(z) - kw(z),

де k - Невідомий поки коефіцієнт.

Очевидно, що при z = x0, x1, ..., Xn функція u(z) Звертається в нуль, тобто функція u(z) На інтервалі [a, b] має n +1 корінь.

виберемо k таким чином, щоб u(x)=0 в точці, яка не співпадає з вузлом. Для цього достатньо покласти

f(x) - Ln(x) - kw(x) = 0, тобто k = Rn(x)/ w(x).

Таким чином, функція u(z)= Rn(z) - Rn(x)w(z)/ w(x) Дорівнює нулю в n +2 точках x0, x1, ..., Xn, X.

Тоді по теоремі Ролля [5] її похідна u? (z) Звертається в нуль принаймні в n + 1 точці. Застосовуючи теорему Ролля до функції u? (z), Отримуємо, що її похідна u?? (z) Звертається в нуль принаймні в n точках. Продовжуючи ці міркування далі, отримуємо, що

звертається в нуль принаймні в одній точці xI [a, b].

Так як  , а  , то

.

отже, ,

де .

Таким чином,

 . (2.6)

Приклад. Побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа для функції f(x)= x1/2 c вузлами інтерполяції х0= 100; х1= 121; х2= 144. Оцінити похибка інтерполяції в точці х= 116.

1. Оцінимо похибку.

 так як на відрізку [100,144] функція f (3)(x) Спадна. Тому

2. Побудуємо поліном.

Таблиця має вигляд

хк
ук

тоді

Примітка 1. Якщо щодо функції f нічого невідомо, крім її значень в вузлах інтерполяції, то ніяких корисних суджень щодо похибки Rn(x) Зробити не можна.

кінець примітки 1.

Примітка 2.Як видно з прикладу, оцінку похибки можна провести до обчислення интерполяционного многочлена, тобто це апріорна оцінка похибки. Раніше ми проводили оцінку похибки за першим відкинутому члену ряду після виконання обчислень на кожному кроці. Це була апостериорная оцінка.

Суворі апріорні оцінки використовуються в основному при теоретичному дослідженні чисельних методів. При практичному контролі точності розрахунків зазвичай вживають менш суворі, але більш зручні апостеріорні оцінки.

кінець примітки 2.

Тепер розглянемо наступну задачу. Нехай задана деяка функція  (Тобто належить класу безперервних і n +1 раз диференціюються). Потрібно замінити цю функцію інтерполяційним поліномом Ln(x), причому є свобода вибору вузлових точок.

Виникає питання, як вибрати вузли, щоб максимальна похибка інтерполяції функції f на цьому відрізку була мінімальною. Це досить складне завдання, і її вдається вирішити лише для деяких приватних функцій. Обмежимося рішенням більш простої задачі, а саме, знаходженням такого розташування вузлів, при якому мінімальна величина max?w(x) ? і тому мінімальна права частина оцінки похибки.

Для цього поліном w(х) Повинен бути поліномом Чебишева (саме цей поліном на відрізку [-1, 1] має найменше значення максимуму модуля), а в якості вузлів інтерполяції необхідно взяти коріння полінома Чебишева Tn +1(x) (Формула (2.2)), тобто точки

k =1, ..., N +1.

тоді w(х)=2-nTn +1(x) і .

В силу вищезгаданого властивості поліномів Чебишева поліпшити цю оцінку за рахунок іншого вибору вузлів можна.

Для довільного відрізка [a, b] Оптимальні вузли інтерполяції відповідно до формули (2.3) мають вигляд

.

Вони розташовані порівняно рідко в середині даного відрізка і згущуються у його кінців.



Постановка задачі інтерполяції | Інтерполяційний поліном Ньютона

ПОНЯТТЯ АПРОКСИМАЦІЇ | Обчислення значення полінома ПО Схема Горнера | Апроксимації ДЕЯКИХ трансцендентних функцій ЗА ДОПОМОГОЮ РЯДОВ | поліномів Чебишева | Інтерполяції функцій БАГАТЬОХ ЗМІННИХ | Нелінійна ІНТЕРПОЛЯЦІЯ | ЗВОРОТНЕ інтерполяції | інтерполяції сплайнами | Апроксимації ПО МЕТОДУ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ | Квадратичне апроксимування узагальненими поліномами |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати