Головна

Білінійну квадратичної форми

  1. Quot; Відлига ": реформи Хрущова в другій половині 50-х - початку 60-х років. Викриття культу особи Сталіна
  2. А - насипанні суміші в опоку; б - струшування; в - допрессовкой; г - з'їм напівформи з модельної плити штифтами
  3. Адекватність і форми її прояву. Заходи кількості інформації
  4. Адміністративно-територіальні реформи в XVIII столітті.
  5. Адміністративні і судові реформи Катерини II.
  6. Адміністративні реформи в провідних країнах світу.
  7. Алгебраїчна, геометрична і показові форми комплексного числа

4.1. лінійна функція

Розглянемо найпростіші числові функції, аргументами яких є вектора. Найпростішою числовою функцією в просторі L є лінійна функція.

ВИЗНАЧЕННЯ 1. Функція  називається лінійної, якщо  ставить у відповідність число і при цьому виконані умови:

.

.

виберемо в nвимірному лінійному просторі  базис  . Так як кожен вектор  можна представити у вигляді:

,

то в силу властивості  лінійної функції маємо:

.

Отже, в лінійному nвимірному просторі  із заданим базисом лінійна функція може бути представлена ??у вигляді

 , (1)

де  постійні, що залежать лише від вибору базису, а  - Координати вектора  в цьому базисі.

З'ясуємо, як змінюються коефіцієнти лінійної функції при заміні одного базису іншим.

нехай и  - Два базису в  . Припустимо, що вектори  виражаються через вектори базису  наступним чином:

,

У базисі  лінійна функція  визначається виразом

 , (2)

а в базисі  - виразом

 . (3)

Так як

то

отже, коефіцієнти лінійної форми перетворюються при переході до іншого базису так само, як вектори базису цього простору.

4.2. Білінійні форми

ВИЗНАЧЕННЯ 2. Вираз  називається билинейной функцією (билинейной формою) від векторів и , якщо:

 . при фіксованому  є лінійна функція від  , тобто:

а) ,

б) .

 . при фіксованому  є лінійна функція від  , тобто:

а) ,

б) .

ВИЗНАЧЕННЯ 3. Білінійна функція (форма) називається симетричною, якщо для всіх векторів и  має місце рівність:

 (4)

Зокрема, з визначення скалярного твори  в евклідовому просторі Е випливає, що цей твір є симетричною білінійної формою.

4.3. Матриці билинейной форми

виберемо в nвимірному просторі  будь-якої базис  і висловимо білінійну форму  через коефіцієнти и  векторів и  в цьому базисі. маємо:

В силу властивостей а) і б) пункту  билинейной форми, маємо:

Або, коротше:

.

позначимо постійні  через  . Тоді в заданому базисі  всяка билинейная форма в nвимірному просторі може бути записана у вигляді:

 . (5)

ВИЗНАЧЕННЯ 4. Матрицю  , Складену з коефіцієнтів  многочлена (5), називають матрицею билинейной форми  в базисі

Таким чином, в кожному базисі простору  билинейная форма  визначається своєю матрицею:

.

 



Ізоморфізм евклідових просторів | При зміні базису

Вектора по базису простору | Визначення базису і розмірність простору L | Формули перетворення координат при зміні базису | Твором. евклідовому просторі | Нерівність Коші-Буняковського | Ортогональний і орто-нормований | квадратичні форми | До канонічного вигляду | Будемо розглядати квадратичну форму (7) в евклідовому просторі |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати