Головна |
Нехай дана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (1). нехай ranqA= ranq , Тобто система сумісна. Не обмежуючись спільністю, будемо вважати, що базисний мінор розташовується в перших рядках і шпальтах матриці A. Відкинувши останні m-r рівнянь системи (1), запишемо вкорочений систему
(2)
яка еквівалентна вихідної.
назвемо невідомі x1 , x2 , ..., Xr базисними, а xr+1 , ..., Xn- вільними. Перенесемо слагаемиe, що містять вільні невідомі, в праву частину рівняння (2). В результаті, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо базисних невідомих
(3)
яка для кожного набору значень вільних невідомих xr + 1= c1, xr+2= c2, ..., Xn= cn-r. має єдине рішення: x1= f1, (C1, c2 , ..., Cn-r), x2= f2, (C1, c2 , ..., Cn-r), ..., xr= fr, (C1, c2 , ..., Cn-r). Рішення системи (3) можна визначити або за методом Крамера, або методом Гаусса.
Загальне рішення СЛАР можна записати у вигляді матриці-стовпця наступним чином:
(4)
ТЕОРЕМА СУМІСНОСТІ (СЛАР) | З m рівнянь З n НЕВІДОМИМИ
Спільна СЛАР може мати одне або декілька рішень і називається | АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ | Ітераційні методи РІШЕННЯ СЛАР |