Головна

АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

  1. Алгоритм знаходження рішень довільної системи лінійних рівнянь (метод Гаусса)
  2. Аналіз рівнянь кінетики реактора.
  3. Квиток №29. Матрична запис системи лінійних рівнянь. Рішення систем n лінійних рівнянь з n невідомими за допомогою оберненої матриці.
  4. У завданнях 9.321-9.322 знайти спільні рішення найпростіших диференціальних рівнянь в приватних похідних.
  5. Види рівнянь площин і прямих у просторі. Умови їх паралельності і перпендикулярності.
  6. Види приватних рішень для різних правих частин лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь

Отже, нехай потрібно вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(1)

Нагадаємо, що в (1.1) A -квадратная матриця  з речовими коефіцієнтами aij - заданий вектор-стовпець з речовими компонентами,  - Шуканий вектор-стовпець з n-компонента.

Перш ніж застосувати будь-якої метод вирішення задачі (1) слід переконатися в тому, що ця задача поставлена ??коректно. Будемо говорити, що завдання поставлене коректно, якщо:

а) рішення задачі існує,

б) єдино,

в) у безперервний спосіб залежить від вхідних даних.

Як відомо, для завдання (1) перші два вимоги у визначенні будуть виконані, якщо

Третє ж вимога в (2) стосовно до задачі (1) потребує певної деталізації і пов'язане з поняттям обумовленості вихідної матриці A.

Методи рішення СЛАР (1) можна розділити на дві групи: прямі та ітераційні. У прямих методах знаходження рішення задачі (1) здійснюється за кінцеве число дій. В ітераційних методах визначається не саме рішення задачі (1), а деяка послідовність векторів (k- Номер ітерації) така, що

 (2)

До прямих методів вирішення певних СЛАР відносяться: метод Крамера і метод Гаусса. Причому ці методи розрізняються за кількістю дій, необхідних для знаходження рішення вихідних СЛАР. Мірою відмінності може служити число дій, необхідне для обчислення одного невідомого. Нижче розглянемо обидва ці методу.

2.1. МЕТОД Крамера

Припустимо, що в системі (1) у матриці A розміру  тоді матриця A має зворотну A-1 , тобто A ? A-1= A-1 ? A = E. Помножимо обидві частини виразу (1) зліва на A-1, отримаємо

 (3)

Так як =  то (3) можна записати так

 (4)

де

,

а Aij - Алгебраїчні доповнення елементів, aij - Визначники матриці A.

Розписуючи вираз (4) покомпонентно, отримаємо

або

 (1.5)

де Ai - Матриця, що отримується з A шляхом заміни i-го стовпчика на стовпець вільних членів. Формули (5) називаються формуламіКрамера.

ПРИКЛАД. Вирішити за формулами Крамера систему лінійних рівнянь.

 знаходимо визначники и  , Розкладаючи їх на мінори за елементами останнього рядка, а потім обчислюючи за правилом трикутників. маємо

,

,

Після визначення значень визначників и  за формулою Крамера знаходимо рішення системи:

2.2. МЕТОД виключення Гауса

Нехай дана неоднорідна СЛАР, що складається з n лінійних рівнянь з n невідомими x1 , x2 , ..., Xn і правими частинами b, b2 , ..., Bn:

 . (1)

У матричної формі ця система може бути записана так:

(2)

де

Нижче викладемо метод для вирішення системи рівнянь (1), заснований на послідовному виключенні невідомих. Цей метод пов'язаний з ім'ям Гаусса. Має багато різних обчислювальних схем. Ми ж наведемо виклад, так званої, схеми єдиного ділення.

Припустимо, що коефіцієнт a11?0. Розділимо коефіцієнти першого з рівнянь СЛАР (1), включаючи і вільний член, на коефіцієнт a11, Який ми будемо називати провідним елементом 1-гошага, І позначимо

 . (3)

Отримаємо нове рівняння, яке запишемо так

 (4)

Виключимо тепер невідоме  з усіх рівнянь системи (1), починаючи з другого, за допомогою вирахування з цих рівнянь рівняння (3), помноженого відповідно на числа  Перетворені рівняння матимуть вигляд

 (5)

де

 (6)

Розділимо далі коефіцієнти першого з перетворених рівнянь на провідний елемент 2-го кроку  який вважатимемо відмінним від нуля. Ми отримаємо рівняння

де

.

виключаючи невідоме  з рівнянь (5), починаючи з другого, ми прийдемо до рівнянь

де

Продовжуючи процес по тій же схемі, на m-ом кроці ми отримаємо рівняння

 (7)

де

Отже, отримуємо

 (8)

або в матричної формі

 (9)

де

Відзначимо, що описаний процес можливий тільки за умови нерівності нулю всіх провідних елементів  так як по ходу процесу на них припадає виробляти розподіл.

Із системи (8) значення для невідомих знаходимо послідовно від xn к x1 з очевидних формулами

Отже, для вирішення даної системи за схемою єдиного ділення ми спочатку будуємо допоміжну трикутну систему, а потім вирішуємо її. Процес знаходження коефіцієнтів трикутної системи ми будемо називати прямим ходом, А процес отримання її рішення - зворотним.

ПРИКЛАД. Вирішити методом Гаусса систему рівнянь

РІШЕННЯ.

 Ш а г 1. Виключаємо невідому x1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього спочатку розділимо всі члени його на коефіцієнт при x1. маємо

 (1)

Потім з другого рівняння системи (1) віднімаємо найперше, помножене на 3

Після цього з 3-го рівняння системи (1) віднімемо перший

Тепер система рівнянь прийме вигляд

 (2)

Ш а г 2. Виключаємо невідоме x2 з 3-го рівняння системи (2). Виняток виконуємо за допомогою 2-го рівняння системи (2), яке попередньо ділимо на коефіцієнт при x2. Після цього система запишеться у вигляді

Потім віднімаємо з третього рівняння друге, помножене на 2

Після цього вихідна система (1) прийме, так звану, трикутну форму

 (3)

Тепер легко знайти значення невідомих.

Ш а г 3. Визначаємо з третього рівняння значення x3

Ш а г 4. Підставляючи значення x2 в друге рівняння системи (3) знаходимо

Ш а г 5. Значення x3 и x2 підставляємо в перше рівняння і знаходимо x1

Отже

ЗАУВАЖЕННЯ.Метод Гаусса не вимагає попереднього аналізу про сумісність системи.

а) Якщо система сумісна і визначена, то метод призводить до єдиності рішення.

б) Якщо система несумісна, то цей метод призводить до того, що на якомусь етапі разом з исключаемой невідомої виключаються і всі інші невідомі, а в правій частині залишається вільний член, відмінний від нуля.

в) У методах типу Гаусса число дій Q (A), необхідних для знаходження рішення задачі (1) має залежність Q (A) = 0 · (n3). Якщо ж матриця A діагональна, то Q (A) = n, А число дій q (A), необхідних для обчислення одного невідомого в точності дорівнює одиниці, тобто не залежить від n. Методи рішення СЛАР (1) називаються економічними, якщо q (A) не залежить або слабо залежить від n. Вченими показано, що для довільної невироджених матриці існують методи Q (A) = K · na, A = loq27. Однак, їх логічна складність і занадто велика величина константи K не дають цим методам практичних переваг в порівнянні з методами типу Гаусса. Тому можна вважати, що для довільної невироджених матриці A прямі методи з оцінкою q (A) = 0 · (n2) є оптимальними.

 



Спільна СЛАР може мати одне або декілька рішень і називається | ТЕОРЕМА СУМІСНОСТІ (СЛАР)

З n НЕВІДОМИМИ | З m рівнянь З n НЕВІДОМИМИ | Ітераційні методи РІШЕННЯ СЛАР |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати