На головну

Доведення.

  1. Аргументація і логічний доказ. Склад, види.
  2. Аргументація і логічний доказ. Склад, види.
  3. Доведення.
  4. Доведення.
  5. Доведення.
  6. Доведення.
  7. Доведення.

Слідство. якщо подія и  незалежні, то и  також незалежні.

Взагалі, введене визначенням 3.2 поняття незалежності має всі властивості, яких вимагає інтуїція. Для того щоб визначення незалежності  подій  було настільки ж гарним, його можна вводити так.

Визначення 3.3. події  називаються незалежними в сукупності, якщо для будь-яких  з них  виконується співвідношення

.

Якщо це співвідношення виконується тільки при  , То події називаються попарно незалежними.

Зрозуміло, що з незалежності в сукупності слід попарно незалежність, зворотне невірно.

Приклад 3.1. (Бернштейна). Нехай є правильний тетраедр. Розфарбуємо його межі наступним чином: першу пофарбуємо в червоний колір, другу - в синій, третю - в зелений, а четверту пофарбуємо в три кольори: червоний, синій, зелений. Будемо тепер підкидати цей тетраедр, він ляже на стіл одній з граней і будемо вивчати колір цієї межі. позначимо через  подія: на межі є червоний колір,  синій колір,  зелений колір. Безліч елементарних подій буде складатися з чотирьох елементів (у тетраедра 4 грані), тому,  , Так як такі кольори знаходяться на двох гранях (одна цілком зафарбована, інша грань на третину). Зрозуміло, що

; ; ; .

; ;

,

т. е. наші події попарно незалежні, проте

.

нехай простір  представлено у вигляді суми

,

де  при  . Тоді кажуть, що події  складають повну групу подій, іноді події  називають гіпотезами. Для довільного події  має місце формула:

,

яка називається «формулою повної ймовірності». Формула повної ймовірності, з точки зору математики, виводиться досить просто. Вона може застосовуватися для завдання ймовірностей на множині елементарних подій.

Завдання 3.2. Три верстата штампують деталі, причому перший верстат виробляє 40% всього продукції, другий верстат - 10% і третій верстат 50%. Частка бракованих деталей, вироблених першим верстатом - 5%, другим верстатом - 2%, третім верстатом - 3%. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться бракованою?

Рішення. позначимо через  гіпотези, що складаються в тому, що деталь зроблена  -м верстатом. подія А - Взята деталь бракована, тоді

.

Вирішимо тепер цю ж задачу, використовуючи класичну схему.

Розглянемо в якості  сукупність всіх деталей, виготовлених трьома верстатами. За умовою

,

де  - Безліч деталей, виготовлених  -м верстатом, А - Подія: взята деталь бракована.

За умовою

, , ,

, , .

Тому,

,

т. е. ми отримуємо ту саму відповідь. Таким чином, формула повної ймовірності дозволяє отримати відповідь, минаючи побудова простору елементарних подій.

Завдання 3.3. У першій урні 1 білий і 9 чорних куль, а в другій - 1 чорний і 5 білих куль. З кожної урни видалили по одній кулі, а решту кулі зсипали в третю урну. Знайти ймовірність того, що куля, вийнятий з третьої урни, виявиться білим.

Рішення. позначимо через  подія: з третьої урни вийняли білу кулю. Введемо гіпотези:

 з 1-й урни видалили біла куля, з 2-й - біла куля,

 з 1-й урни видалили біла куля, з 2-й - чорна куля,

 з 1-й урни видалили чорна куля, з 2-й - біла куля,

 з 1-й урни видалили чорна куля, з 2-й - чорна куля.

тоді

За формулою повної ймовірності

.

Завдання 3.4. У першій урні лежить 1 біла куля і 4 червоних, а в другій - 1 білий і 7 червоних. В першу урну додаються два кулі, випадково вибраних з другої урни. Знайти ймовірність того, що куля, обраний з доповненої урни, буде білим.

Рішення. нехай подія  з доповненої урни вийняли білу кулю. Введемо гіпотези.

 додали 1 білий і 1 червоний куля,

 додали 2 червоних кулі,

Отже,

Завдання 3.5. З урни, що містить 2 білих і 3 чорних кулі, навмання витягають 2 кулі і додають в урну 1 біла куля. Знайти ймовірність того, що після цього:

а) навмання вибраний куля буде білим;

б) обрані  куль будуть білими.

Рішення. Введемо гіпотези:  витягли 2 білих кулі,  витягли 1 білий і 1 чорна куля,  витягли 2 чорних кулі. тоді

а)  навмання обраний куля буде білим:

За формулою повної ймовірності:

.

б) З умови задачі ясно, що  може приймати тільки значення  позначимо через  - Відповідні події.  ми знайшли в пункті а).

 (Так як в урні всього один біла куля).

;  , тому

, .

 , тому .

Завдання 3.6. Є 5 урн. У 1-й, 2-й і 3-й урнах знаходиться по 2 білих і 3 чорних кулі, в 4-й і 5-й урнах - по 1 білому і 1 чорному кулі. Випадково вибирається урна і з неї витягується куля. Яка ймовірність того, що ця куля білий?

Рішення. Введемо гіпотези:  обрана  -я урна. подія  - Витягнутий біла куля.

Отже, .

Якщо виконані умови застосовності формули повної ймовірності, то вірна формула Байеса:

.

Завдання 3.7. студент вивчив  з  екзаменаційних білетів. Яка ймовірність того, що він витягне "щасливий" квиток? Яким він повинен йти на іспит для отримання позитивної оцінки: першим або останнім, якщо група складається з  людина?

Рішення. позначимо через  подія, що складається в добуванні «щасливого» квитка після  витягів квитків. За результатами попередніх дослідів можна зробити  гіпотез. нехай гіпотеза  означає, що з  витягнутих квитків «щасливих» було  . Ймовірності цих гіпотез

,

причому  . Так як залишилося  квитків, з яких  виграшних, то при

За формулою повної ймовірності знаходимо:

 де  при .

Дане рівність можна записати також у вигляді:

маємо:

Т. е. Справедливо рівність: .

шукана ймовірність  при будь-якому  . Таким чином, кожен квиток з однаковою ймовірністю  може виявитися щасливим, і черговість заходу на іспит не має значення.

Завдання 3.8.Телеграфне повідомлення складається з сигналів "точка" і "тире". Статистичні властивості перешкод такі, що спотворюються в середньому  повідомлень "точка" і  повідомлень "тире". Відомо, що серед переданих сигналів "точка" і "тире" зустрічаються відносно  . Визначити ймовірність того, що прийнятий сигнал, що передається, якщо:

1) прийнятий сигнал "точка";

2) прийнятий сигнал "тире".

Рішення. нехай подія  - Прийнятий сигнал "точка", а подія  - Прийнятий сигнал "тире". Можна зробити дві гіпотези:  - Переданий сигнал "точка",  - Переданий сигнал "тире". За умовою:  Крім того,  . Тому,

, .

Відомо що

ймовірності подій и  знаходимо за формулою повної ймовірності:

Шукані ймовірності будуть:

1) ,

2)

Завдання 3.9. В урні лежить куля невідомого кольору - з однаковою ймовірністю білий або чорний. В урну опускається один біла куля і після ретельного перемішування навмання витягується одна куля. Він виявився білим. Яка ймовірність того, що в урні залишився біла куля?

Рішення. Введемо гіпотези:  - В урні біла куля,  - В урні чорна куля. подія  - Витягли біла куля.

; ; : .

За формулою Байєса знайдемо

.

Завдання 3.10. Три стрілка виробляють по одному пострілу в одну і ту ж мету. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для кожного з стрільців відповідно дорівнює  . Яка ймовірність того, що другий стрілок промахнувся, якщо після пострілів в мішені виявилося дві пробоїни?

Рішення. Введемо гіпотези:  - Другий стрілок влучив у мішень,  - Другий гравець не поцілив. подія  - В мішені дві пробоїни.

,

т. е. потрапив або перший стрілок, або третій стрілок.

 - Потрапили перший і третій стрілки.

.

Завдання 3.11. В урні знаходиться 3 чорних і 2 білих кулі. Перший гравець витягує 3 кулі. Назад він повертає чорна куля, якщо серед вийнятих куль більше було чорних, в іншому випадку повертає біла куля. Другий гравець витягує після цього один шар і по його кольору повинен вгадати число білих куль серед трьох куль, вийнятих першим гравцем. Знайти умовну ймовірність того, що у першого гравця було:

а) 0 білих куль,

б) 1 біла куля,

в) 2 білих кулі,

- Якщо другий гравець витягнув біла куля.

Рішення.Введемо гіпотези:  - 1 гравець витягнув 3 чорних кулі,  - 1 гравець витягнув 2 чорних і 1 біла куля,  - 1 гравець витягнув 1 чорний і 2 білих кулі. подія  - Другий гравець витягнув біла куля. тоді

; ; ;  . (Білі кульки не можуть витягувалися).

 . (Повернутий тільки один білий кулю).

 . (Виймуть один біла куля, а повернутий чорний).

Тепер за формулою повної ймовірності

,

а за формулою Байеса

a) ;

b) ;

c) .

Наведемо на закінчення цього параграфа завдання, вирішення якої потребує складання рівняння.

Завдання 3.12. Відомо, що ймовірність двом близнюкам бути однієї статі  Та з більшою ймовірністю народження хлопчика  . Знайти ймовірність того, що другий з близнят хлопчик, за умови, що перший з них хлопчик.

Рішення. нехай  - Ймовірність народження другого хлопчика,  - Народження хлопчика взагалі,  - Ймовірність народження дівчинки першої за умови, що другий хлопчик,  - Ймовірність народження першого хлопчика, за умови, що другий хлопчик,  - Ймовірність народження хлопчика і дівчинки,  - Ймовірність народження дівчинки і хлопчика,

,

За умовою

,

За формулою повної ймовірності

,

звідки

або .

Отже, .

 



Формула повної ймовірності. Формула Байєса | Дискретні випадкові величини
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати