На головну

Площина і пряма в просторі

  1. BTL - непряма реклама
  2. I.4. Просторова інтерпретації-ція золотого напівеліпса в профі-ле двухпірамідной системи
  3. III) Пряма кишка
  4. Sf 23. Еволюція уявлень про рух, простір і час.
  5. V-а. площина
  6. V. Площина
  7. VI-а. Пряма в просторі

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

задає площину, і навпаки: будь-яка площина може бути представлена ??рівнянням (3.1), яке називається рівнянням площини.

вектор n (A, B, C), прямокутний площині, називається нормальним вектором площині. У рівнянні (3.1) коефіцієнти A, B, C одночасно не рівні 0.

Особливі випадки рівняння (3.1):

1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 - площина проходить через початок координат.

2. C = 0, Ax + By + D = 0 - площина паралельна осі Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - площина проходить через вісь Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - площина паралельна площині Oyz.

Рівняння координатних площин: x = 0, y = 0, z = 0.

Пряма в просторі може бути задана:

1) як лінія перетину двох площин, т. Е. Системою рівнянь:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двома своїми точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) І M 2 (x 2, y 2, z 2 ), Тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:

=  ; (3.3)

3) точкою M 1 (x 1, y 1, z 1 ), Їй належить, і вектором a(M, n, р), їй колінеарну. Тоді пряма визначається рівняннями:

. (3.4)

Рівняння (3.4) називаються канонічними рівняннями прямої.

вектор a називається напрямних вектором прямої.

Параметричні рівняння прямої отримаємо, прирівнявши кожне з відносин (3.4) параметру t:

x = x 1 + Mt, y = y 1 + Nt, z = z 1 + Р t. (3.5)

Вирішуючи систему (3.2) як систему лінійних рівнянь щодо невідомих x и y, Приходимо до рівнянь прямої в проекціях або до наведеним рівнянням прямої :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Від рівнянь (3.6) можна перейти до канонічним рівнянням, знаходячи z з кожного рівняння і прирівнюючи отримані значення:

.

Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним і іншим способом, якщо знайти яку-небудь точку цієї прямої і її спрямовує вектор n= [n 1, n 2 ], Де n 1 (A 1, B 1, C 1 ) і n 2 (A 2, B 2, C 2 ) - Нормальні вектори заданих площин. Якщо один з знаменників m, n або р в рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідної дробу треба покласти рівним нулю, т. е. система

рівносильна системі  ; така пряма перпендикулярна до осі Ох.

система  рівносильна системі x = x 1, Y = y 1 ; пряма паралельна осі Oz.



Дві прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти протилежні за абсолютною величиною і протилежні за знаком, т. Е. | Дії над комплексними числами.

Змішане твір векторів. | Базис системи векторів. | Скалярний і векторний добуток векторів та їх застосування. | Поняття скалярного твори | Кут між векторами і значення скалярного твори | Векторний добуток векторів. | Визначення моделі і її продуктивність. | Елементи аналітичної геометрії на площині. Рівняння прямої в залежності від параметра. Довжина відрізка та розподіл відрізка в заданому співвідношенні. | Дві прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти рівні, т. Е. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати