Головна

Теорема про можливість приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

  1. A) повідомляється про неможливість дати відповідь по суті поставленого питання в зв'язку з неприпустимістю розголошення зазначених відомостей
  2. Amp; 27. Реформи Петра I: початок модернізації Росії.
  3. Amp; 51. Буржуазні реформи 60-70-х років XIX століття і. їх значення.
  4. II. Селім Ш. Реформи в Османській імперії
  5. III. рідкісні форми
  6. L-форми бактерій, їх особливості та роль в патології людини. Фактори, що сприяють утворенню L-форм. Мікоплазми та захворювання, викликані ними.
  7. MATHCAD. Призначення. Основні можливості. Найпростіші прийоми роботи.

Лемма 1: Якщо квадратична форма (1) не містить квадратів змінних, то за допомогою лінійного перетворення її можна привести в форму, яка містить квадрат хоча б однієї змінної.

Доведення: За умовою, квадратична форма містить тільки члени з творами змінних. Нехай при будь-яких різних значеннях i і j  відмінний від нуля, тобто  - Один з таких членів, що входять в квадратичну форму. Якщо виконати лінійне перетворення ,  , А всі інші не міняти, тобто  (Визначник цього перетворення відмінний від нуля), то в квадратичної формі з'явиться навіть два члена з квадратами змінних:  . Ці складові не можуть зникнути при приведенні подібних членів, тому що кожен з решти доданків містить хоча б одну змінну, відмінну або від  або від .

приклад:

, ,

Лемма 2: Якщо квадратна форма (1) містить доданок з квадратом змінної, наприклад і ще хоча б один доданок зі змінною , то за допомогою лінійного перетворення, f можна перевести в форму від змінних , має вигляд:  (2), де g - квадратична форма, яка не містить змінної .

Доведення: Виділимо в квадратичної формі (1) суму членів, що містять :  (3) тут через g1 позначена сума всіх складових, які не містять .

позначимо

 (4), де через  позначена сума всіх складових, які не містять .

Розділимо обидві частини (4) на  і віднімемо одержане рівність з (3), після приведення подібних матимемо:

 . Вираз у правій частині не містить змінної  і є квадратичною формою від змінних  . Позначимо цей вислів через g, а коефіцієнт  через  , А тоді f дорівнюватиме:  . Якщо провести лінійне перетворення: ,  , Визначник якого відмінний від нуля, то g буде квадратичною формою від змінних  , І квадратична форма f буде приведена до виду (2). Лема доведена.

теорема: Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду за допомогою перетворення змінних.

Доведення: Проведемо індукцію по числу змінних. Квадратична форма від  має вигляд:  , Яке вже є канонічним. Припустимо, що теорема вірна для квадратичної форми від n-1 змінних і доведемо, що вона вірна для квадратично форми від n змінних.

Якщо f не містить квадратів змінних, то по лемі 1 її можна привести до виду, який містить квадрат хоча б однієї змінної, по лемі 2 отриману квадратичную форму можна представити у вигляді (2). Оскільки квадратична форма є залежною від n-1 змінних  , То по індуктивному припущенню вона може бути приведена до канонічного вигляду за допомогою лінійного перетворення цих змінних до змінних  , Якщо до формул цього переходу ще додати формулу  , То ми отримаємо формули лінійного перетворення, яке призводить до канонічного вигляду квадратичну форму  , Що міститься в рівність (2). Композиція всіх розглянутих перетворень змінних є шуканим лінійним перетворенням, що призводить до канонічного вигляду квадратичну форму (1).

Якщо квадратична форма (1) містить квадрат будь-якої змінної, то лему 1 застосовувати не потрібно. Наведений спосіб називається методом Лагранжа.

Від канонічного виду  , де ,  можна перейти до нормального вигляду,  , де  , якщо  , і  , якщо  , За допомогою перетворення:

.

приклад: Привести до канонічного вигляду методом Лагранжа квадратичную форму:

 (1)

Оскільки квадратична форма f вже містить квадрати деяких змінних, то лему 1 застосовувати не потрібно.

 (2)

2.

Виділяємо члени, що містять :

 (3)

 (4)

3. Щоб отримати лінійне перетворення, безпосередньо приводить форму f до виду (4), знайдемо спочатку перетворення, зворотні перетворень (2) і (3).

,

Тепер, за допомогою цих перетворень побудуємо їх композицію:

Якщо підставити отримані значення (5) в (1), ми відразу ж одержимо уявлення квадратичної форми в вигляді (4).

Від канонічного виду (4) за допомогою перетворення

 можна перейти до нормального вигляду:

Лінійне перетворення, що приводить квадратичну форму (1) до нормального вигляду, виражається формулами:

Бібліографія:

1. Воєводін В. В. Лінійна алгебра. СПБ .: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. М .: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикін А. І. Введення в алгебру. частина II. Основи алгебри: підручник для вузів, М. : Фізико-математична література, 2000., 368 с.

Лекція №26 (II семестр)

Тема:Закон інерції. Позитивно певні форми.

зміст:

Канонічний і нормальний вигляд квадратичної форми. | Закон інерції квадратичних форм. Позитивно певна квадратична форма, приведення квадратичної форми до канонічного виду за допомогою ортогонального перетворення.


Характеристичний многочлен. | Теорема: Основна теорема алгебри. | Операторний многочлен. | Приведення матриці оператора до трикутного вигляду. | Матрична інтерпретація теореми 15. | Пряма сума операторів. | Властивості прямої суми операторів. | Жорданова форма матриці. | Поняття квадратичної форми. | Лінійні перетворення змінних. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати