Головна |
Лемма 1: Якщо квадратична форма (1) не містить квадратів змінних, то за допомогою лінійного перетворення її можна привести в форму, яка містить квадрат хоча б однієї змінної.
Доведення: За умовою, квадратична форма містить тільки члени з творами змінних. Нехай при будь-яких різних значеннях i і j відмінний від нуля, тобто - Один з таких членів, що входять в квадратичну форму. Якщо виконати лінійне перетворення , , А всі інші не міняти, тобто (Визначник цього перетворення відмінний від нуля), то в квадратичної формі з'явиться навіть два члена з квадратами змінних: . Ці складові не можуть зникнути при приведенні подібних членів, тому що кожен з решти доданків містить хоча б одну змінну, відмінну або від або від .
приклад:
, ,
Лемма 2: Якщо квадратна форма (1) містить доданок з квадратом змінної, наприклад і ще хоча б один доданок зі змінною , то за допомогою лінійного перетворення, f можна перевести в форму від змінних , має вигляд: (2), де g - квадратична форма, яка не містить змінної .
Доведення: Виділимо в квадратичної формі (1) суму членів, що містять : (3) тут через g1 позначена сума всіх складових, які не містять .
позначимо
(4), де через позначена сума всіх складових, які не містять .
Розділимо обидві частини (4) на і віднімемо одержане рівність з (3), після приведення подібних матимемо:
. Вираз у правій частині не містить змінної і є квадратичною формою від змінних . Позначимо цей вислів через g, а коефіцієнт через , А тоді f дорівнюватиме: . Якщо провести лінійне перетворення: , , Визначник якого відмінний від нуля, то g буде квадратичною формою від змінних , І квадратична форма f буде приведена до виду (2). Лема доведена.
теорема: Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду за допомогою перетворення змінних.
Доведення: Проведемо індукцію по числу змінних. Квадратична форма від має вигляд: , Яке вже є канонічним. Припустимо, що теорема вірна для квадратичної форми від n-1 змінних і доведемо, що вона вірна для квадратично форми від n змінних.
Якщо f не містить квадратів змінних, то по лемі 1 її можна привести до виду, який містить квадрат хоча б однієї змінної, по лемі 2 отриману квадратичную форму можна представити у вигляді (2). Оскільки квадратична форма є залежною від n-1 змінних , То по індуктивному припущенню вона може бути приведена до канонічного вигляду за допомогою лінійного перетворення цих змінних до змінних , Якщо до формул цього переходу ще додати формулу , То ми отримаємо формули лінійного перетворення, яке призводить до канонічного вигляду квадратичну форму , Що міститься в рівність (2). Композиція всіх розглянутих перетворень змінних є шуканим лінійним перетворенням, що призводить до канонічного вигляду квадратичну форму (1).
Якщо квадратична форма (1) містить квадрат будь-якої змінної, то лему 1 застосовувати не потрібно. Наведений спосіб називається методом Лагранжа.
Від канонічного виду , де , можна перейти до нормального вигляду, , де , якщо , і , якщо , За допомогою перетворення:
.
приклад: Привести до канонічного вигляду методом Лагранжа квадратичную форму:
(1)
Оскільки квадратична форма f вже містить квадрати деяких змінних, то лему 1 застосовувати не потрібно.
(2)
2.
Виділяємо члени, що містять :
(3)
(4)
3. Щоб отримати лінійне перетворення, безпосередньо приводить форму f до виду (4), знайдемо спочатку перетворення, зворотні перетворень (2) і (3).
,
Тепер, за допомогою цих перетворень побудуємо їх композицію:
Якщо підставити отримані значення (5) в (1), ми відразу ж одержимо уявлення квадратичної форми в вигляді (4).
Від канонічного виду (4) за допомогою перетворення
можна перейти до нормального вигляду:
Лінійне перетворення, що приводить квадратичну форму (1) до нормального вигляду, виражається формулами:
Бібліографія:
1. Воєводін В. В. Лінійна алгебра. СПБ .: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. М .: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикін А. І. Введення в алгебру. частина II. Основи алгебри: підручник для вузів, М. : Фізико-математична література, 2000., 368 с.
Лекція №26 (II семестр)
Тема:Закон інерції. Позитивно певні форми.
зміст:
Канонічний і нормальний вигляд квадратичної форми. | Закон інерції квадратичних форм. Позитивно певна квадратична форма, приведення квадратичної форми до канонічного виду за допомогою ортогонального перетворення.
Характеристичний многочлен. | Теорема: Основна теорема алгебри. | Операторний многочлен. | Приведення матриці оператора до трикутного вигляду. | Матрична інтерпретація теореми 15. | Пряма сума операторів. | Властивості прямої суми операторів. | Жорданова форма матриці. | Поняття квадратичної форми. | Лінійні перетворення змінних. |