Головна

Властивості прямої суми операторів.

  1. I.1. Образотворчі властивості фронтальної проекції двох-пірамідної системи Хеопса-Голоду
  2. I.5. Образотворчі властивості двухкартінного комплексного креслення двухпірамідной системи Хеопса-Голоду
  3. II. Системи збудження СД і їх основні властивості
  4. P-n перехід, його властивості, види пробоїв
  5. Pn-перехід і його властивості.
  6. Rigid Body Properties - властивості жорсткого тіла
  7. V естетичні властивості

1. Відображення А, є лінійним оператором.

Доведення: нехай ,  і нехай a, b - будь-які числа.

тоді:

2. Единственность уявлення оператора у вигляді прямої суми.

 , тобто,  - Індукований оператор А на L.

 , тобто,  - Індукований оператор А на М.

3. Нехай А - довільний оператор, який діє в лінійному просторі X. Якщо  і підпростору L і М - інваріантніщодо оператора А, то оператор А завжди розкладемо в пряму суму.

В цьому випадку характеристичний многочлен оператора А дорівнює добутку характеристичних многочленів операторів и  , Індукованих оператором А на підпростору L і М відповідно.

Бібліографія:

1. Воєводін В. В. Лінійна алгебра. СПБ .: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. М .: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикін А. І. Введення в алгебру. частина II. Основи алгебри: підручник для вузів, М. : Фізико-математична література, 2000., 368 с.

Лекція №22 (II семестр)

Тема:Теорема про існування та єдність розкладання оператора в пряму суму операторів із заданими характеристичними многочленами. Кореневі підпростори. Теорема Гамільтона-Келі.

зміст:

теорема: За допомогою будь-якого операційного многочлена можна здійснити розкладання оператора А в пряму суму.

Доведення: Розглянемо послідовність операторів

Цим операторам відповідають ядра .

1. Покажемо спочатку, що якщо існує  , Таке, що

.

Доведення:

нехай

2. Розглянемо для операторів  їх образи  , Тобто  - Область значень оператора  , Ми знаємо, що .

Нехай q - найменше ціле позитивне число, таке, що  , Йому відповідає образ ,  . Справді, якщо вектор

Кожен з коренів характеристичного многочлена оператора, індукованого оператором А на підпростір  є коренем многочлена  . Жоден з коренів характеристичного многочлена оператора, індукованого оператором А на підпростір  , Не є коренем многочлена  , Справді, нам відомо, що всі власні вектори оператора А повинні знаходитися в підпросторах и  , При цьому в  знаходяться ті з них, які відповідають власним значенням, що збігається з якимись країнами многочлена  , А в  знаходяться ті з них, для яких власні значення не збігаються ні з якими країнами многочлена .

теорема: Нехай характеристичний многочлен оператора представимо у вигляді добутку двох многочленів: , які не мають спільних коренів. тоді оператор А можна єдиним чином розкласти в пряму суму операторів В и С (  ), так, що оператор В має характеристичний многочлен , а оператор С - .

Доведення:

1. Розглянемо розкладання оператора А в пряму суму, яка утворюється за допомогою многочлена  . Так як твір характеристичних многочленів операторів, що визначає пряму суму, збігається з многочленом  , То існування такого розкладу випливає з теореми 16.

2. Нехай  , Де підпростору N і T інваріантніщодо оператора А і при цьому оператор, індукований оператором А на підпростір N, має в якості характеристичного многочлена  , А оператор, індукований оператором А на підпростір Т, має в якості характеристичного многочлена  . Тоді, по теоремі 13,  для всіх досить великих k, але це означає, що  . оператор  є невироджених на Т, так як  - Характеристичний многочлен оператора, індукованого оператором А на T, і и  не мають спільних коренів, отже, безліч образів векторів з T по відношенню до оператора  збігається з T, але тоді  для  . Підпростору N і T і и  в прямій сумі утворюють весь простір X. Ми маємо, що ,  , і .

нехай оператор ,  . нехай  - Характеристичний многочлен оператора А. Так як все відбувається на комплексному лінійному просторі С, то  , де  - Власні значення (попарно різні),  . Розглянемо багаточлени  . Вони є дільниками характеристичного многочлена  , І ніяка пара з них не має спільних коренів. По теоремі 17 існують інваріантні підпростори щодо оператора А  такі, що  , При цьому розмірності ,  . Характеристичний многочлен оператора, індукованого оператором А на підпростір  - це .

визначення: підпростору  називаються кореневими підпросторами оператора А, відповідними своїм значенням  . Вектори кореневого підпростори називаються кореневими векторами.

Т.ч., оператор А може бути розкладений в пряму суму операторів, індукованих цим оператором на кореневих підпросторах. кореневе підпростір  збігається з ядром оператора  при деякому цілому позитивному q. Насправді, в даному випадку можна вважати  . Справді, розглянемо оператори  , де  . нехай  - Це найменше число, для якого ядро ??оператора  збігається з ядром оператора  . Тоді кореневе підпростір  збігатиметься з ядром оператора  , Тому що розмірність ядер операторів  при  монотонно зростає, а розмірність кореневого підпростори  , то  , Тобто .

Т.ч., кореневе підпростір  , Відповідне своїм значенням  кратності  збігається з ядром оператора .

Теорема: (Теорема Гамільтона-Келі)

якщо  - Характеристичний многочлен оператора А, то  - Нульовий оператор (оператор є коренем свого характеристичного многочлена).

Доведення: нехай  . Так як лінійний простір X представимо у вигляді прямої суми кореневих підпросторів  , То вектор  єдиним чином представимо у вигляді:  , де .

так як .

Бібліографія:

1. Воєводін В. В. Лінійна алгебра. СПБ .: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналітичної геометрії і лінійної алгебри. М .: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикін А. І. Вступ в алгебру. частина II. Основи алгебри: підручник для вузів, М. : Фізико-математична література, 2000., 368 с.

Лекція №23 (II семестр)

Тема:Жорданова форма матриці.

зміст:

Пряма сума операторів. | Жорданова форма матриці.


Група невироджених операторів. | Матриця оператора. | Перехід до нового базису. | Еквівалентні матриці. | Власні значення і власні вектори лінійних операторів. | Характеристичний многочлен. | Теорема: Основна теорема алгебри. | Операторний многочлен. | Приведення матриці оператора до трикутного вигляду. | Матрична інтерпретація теореми 15. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати