Головна |
1. Відображення А, є лінійним оператором.
Доведення: нехай , і нехай a, b - будь-які числа.
тоді:
2. Единственность уявлення оператора у вигляді прямої суми.
, тобто, - Індукований оператор А на L.
, тобто, - Індукований оператор А на М.
3. Нехай А - довільний оператор, який діє в лінійному просторі X. Якщо і підпростору L і М - інваріантніщодо оператора А, то оператор А завжди розкладемо в пряму суму.
В цьому випадку характеристичний многочлен оператора А дорівнює добутку характеристичних многочленів операторів и , Індукованих оператором А на підпростору L і М відповідно.
Бібліографія:
1. Воєводін В. В. Лінійна алгебра. СПБ .: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. М .: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикін А. І. Введення в алгебру. частина II. Основи алгебри: підручник для вузів, М. : Фізико-математична література, 2000., 368 с.
Лекція №22 (II семестр)
Тема:Теорема про існування та єдність розкладання оператора в пряму суму операторів із заданими характеристичними многочленами. Кореневі підпростори. Теорема Гамільтона-Келі.
зміст:
теорема: За допомогою будь-якого операційного многочлена можна здійснити розкладання оператора А в пряму суму.
Доведення: Розглянемо послідовність операторів
Цим операторам відповідають ядра .
1. Покажемо спочатку, що якщо існує , Таке, що
.
Доведення:
нехай
2. Розглянемо для операторів їх образи , Тобто - Область значень оператора , Ми знаємо, що .
Нехай q - найменше ціле позитивне число, таке, що , Йому відповідає образ , . Справді, якщо вектор
Кожен з коренів характеристичного многочлена оператора, індукованого оператором А на підпростір є коренем многочлена . Жоден з коренів характеристичного многочлена оператора, індукованого оператором А на підпростір , Не є коренем многочлена , Справді, нам відомо, що всі власні вектори оператора А повинні знаходитися в підпросторах и , При цьому в знаходяться ті з них, які відповідають власним значенням, що збігається з якимись країнами многочлена , А в знаходяться ті з них, для яких власні значення не збігаються ні з якими країнами многочлена .
теорема: Нехай характеристичний многочлен оператора представимо у вигляді добутку двох многочленів: , які не мають спільних коренів. тоді оператор А можна єдиним чином розкласти в пряму суму операторів В и С ( ), так, що оператор В має характеристичний многочлен , а оператор С - .
Доведення:
1. Розглянемо розкладання оператора А в пряму суму, яка утворюється за допомогою многочлена . Так як твір характеристичних многочленів операторів, що визначає пряму суму, збігається з многочленом , То існування такого розкладу випливає з теореми 16.
2. Нехай , Де підпростору N і T інваріантніщодо оператора А і при цьому оператор, індукований оператором А на підпростір N, має в якості характеристичного многочлена , А оператор, індукований оператором А на підпростір Т, має в якості характеристичного многочлена . Тоді, по теоремі 13, для всіх досить великих k, але це означає, що . оператор є невироджених на Т, так як - Характеристичний многочлен оператора, індукованого оператором А на T, і и не мають спільних коренів, отже, безліч образів векторів з T по відношенню до оператора збігається з T, але тоді для . Підпростору N і T і и в прямій сумі утворюють весь простір X. Ми маємо, що , , і .
нехай оператор , . нехай - Характеристичний многочлен оператора А. Так як все відбувається на комплексному лінійному просторі С, то , де - Власні значення (попарно різні), . Розглянемо багаточлени . Вони є дільниками характеристичного многочлена , І ніяка пара з них не має спільних коренів. По теоремі 17 існують інваріантні підпростори щодо оператора А такі, що , При цьому розмірності , . Характеристичний многочлен оператора, індукованого оператором А на підпростір - це .
визначення: підпростору називаються кореневими підпросторами оператора А, відповідними своїм значенням . Вектори кореневого підпростори називаються кореневими векторами.
Т.ч., оператор А може бути розкладений в пряму суму операторів, індукованих цим оператором на кореневих підпросторах. кореневе підпростір збігається з ядром оператора при деякому цілому позитивному q. Насправді, в даному випадку можна вважати . Справді, розглянемо оператори , де . нехай - Це найменше число, для якого ядро ??оператора збігається з ядром оператора . Тоді кореневе підпростір збігатиметься з ядром оператора , Тому що розмірність ядер операторів при монотонно зростає, а розмірність кореневого підпростори , то , Тобто .
Т.ч., кореневе підпростір , Відповідне своїм значенням кратності збігається з ядром оператора .
Теорема: (Теорема Гамільтона-Келі)
якщо - Характеристичний многочлен оператора А, то - Нульовий оператор (оператор є коренем свого характеристичного многочлена).
Доведення: нехай . Так як лінійний простір X представимо у вигляді прямої суми кореневих підпросторів , То вектор єдиним чином представимо у вигляді: , де .
так як .
Бібліографія:
1. Воєводін В. В. Лінійна алгебра. СПБ .: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналітичної геометрії і лінійної алгебри. М .: Физматлит, 2006, 304 с.
3.Кострикін А. І. Вступ в алгебру. частина II. Основи алгебри: підручник для вузів, М. : Фізико-математична література, 2000., 368 с.
Лекція №23 (II семестр)
Тема:Жорданова форма матриці.
зміст:
Пряма сума операторів. | Жорданова форма матриці.
Група невироджених операторів. | Матриця оператора. | Перехід до нового базису. | Еквівалентні матриці. | Власні значення і власні вектори лінійних операторів. | Характеристичний многочлен. | Теорема: Основна теорема алгебри. | Операторний многочлен. | Приведення матриці оператора до трикутного вигляду. | Матрична інтерпретація теореми 15. |