Головна

Зауваження 6.1.

  1. вступне зауваження
  2. заключне зауваження
  3. зауваження
  4. зауваження
  5. зауваження
  6. зауваження
  7. зауваження

з визначень 6.1, 6.2 и 6.3 випливає, що для безперервності функції f(x) в точці x0необхідно і достатньо, щоб f(x) була неперервна і справа, і зліва в точці x0, тобто щоб виконувалися наступні рівності:

f(x+0) =f(x-0) =f(x0).

Властивості функцій, неперервних в точці


Теорема 6.1.

Сума, різниця, добуток двох функцій, безперервних в точці x0, безперервні в цій точці.

Доведення.

нехай f(x),?(x) ?C(x0). Доведемо, що f(x) +?(x) ?C(x0).

За умовою, limx>x0f(x) =f(x0), limx>x0?(x) =?(x0). використовуючи теорему 4.12 про межі суми двох функцій, знайдемо

limx>x0 (f(x) +?(x)) = Limx>x0f(x) + Limx>x0?(x) =f(x0) +?(x0).

Отже, межа функції (f(x) +?(x)) В точці x0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто f(x) +?(x) ?C(x0), що й треба було довести.

¦

Для різниці і добутку двох функцій теорема доводиться аналогічно.

теорема 6.1 вірна для алгебраїчної суми і твори будь-якого числа функцій.

Розглянемо функцію y=x з областю визначення Dy=R. для будь-якого x0?R маємо limx>x0x=x0 (див. зауваження 3.1). Отже, функція y=x неперервна в кожній точці числової осі. з теореми 6.1 випливає, що функція y=xn, n?N, І будь-який многочлен Pn(x) =anxn+an-1xn-1 + ... +a1x+a0 суть також безперервні функції в кожній точці числової осі.


Теорема 6.2.

Приватне двох функцій, безперервних в точці x0, безперервно в цій точці за умови, що знаменник не дорівнює нулю в точці x0.



Визначення 6.3. | Доведення.

Доведення. | Зауваження 4.7. | Завдання 1. | Рішення. | Приклад 5.2. | Визначення 5.5. | Приклад 5.6. | Завдання 6. | Рішення. | Визначення 6.1. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати