Головна |
Отже, ситуація така: потрібно вирішити лінійне неоднорідне рівняння
,
права частина якого не є спеціальною, тобто не підходить під пункти 1 і 2. Для цього спочатку відкидаємо праву частину і знаходимо спільне рішення лінійного однорідного рівняння:
(Див. Попередній параграф). Далі вважаємо, що и - Функції від , І намагаємося змінювати (варіювати) їх таким чином, щоб функція
стала рішенням вихідного неоднорідного рівняння.
Справедливо твердження: якщо функції и є рішенням системи
то функція є загальним рішенням вихідного рівняння.
Доведення.
Знайдемо перші дві похідні останньої функції:
;
.
Підставами ці похідні і саму функцію в вихідне рівняння і переконаємося, що вийде тотожність:
, Ч.т.д.
Рішення лінійних неоднорідних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами, | Системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку,
Вправа. | Рівняння першого порядку. | Вправа. | Зниження порядку диференціального рівняння. | Рішення лінійних однорідних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами, | Інтеграл по прямокутнику. | Властивості інтеграла. | Геометричний сенс подвійного інтеграла. | Теорема про повторне інтегруванні. | Інтеграл по междуграфіку. |