Головна

У 19-ти випадках з 20-ти рішення однорідного рівняння записують у вигляді загального інтеграла.

  1.  I. Рішення логічних задач засобами алгебри логіки
  2.  II. Рішення логічних задач табличним способом
  3.  II. Закономірність загального руху і розвитку
  4.  III і IV Рівняння МАКСВЕЛЛА
  5.  III. Рішення логічних задач за допомогою міркувань
  6.  Uuml; Загального анамнез, включаючи детальну інформацію про перенесені захворювання, хірургічні втручання, прийнятих лікарських препаратів і можливі зловживання.
  7.  А - для круглого циліндра; б - для кулі: - - - - рішення А. Озіна

відповідь: загальний інтеграл:

Чому майже завжди відповідь однорідного рівняння дається у вигляді загального інтеграла? У більшості випадків неможливо виразити «ігрек» в явному вигляді (отримати спільне рішення), а якщо і можливо, то найчастіше спільне рішення виходить громіздким і жахливо корявим.

Так, наприклад, в розглянутому прикладі, загальне рішення отримати можна:

 - загальне рішення.
 Ну, ще куди не йшло. Хоча, погодьтеся, все одно кривовато виглядає.

До речі, в даному прикладі я не зовсім «пристойно» записав загальний інтеграл: . Це не помилка, Але в «хорошому» стилі загальний інтеграл прийнято записувати у вигляді .

Для цього відразу після інтегрування рівняння, константу слід записати без всякого логарифма:
 (Ось і виключення з правила)
 І після зворотної заміни отримати загальний інтеграл в «класичному» вигляді:

Отримана відповідь можна перевірити. Для цього потрібно продифференцировать загальний інтеграл, тобто знайти похідну від функції, заданої неявно:

 Позбавляємося від дробів, множачи кожну частину рівняння на :

 Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, рішення знайдено правильно.

Бажано завжди проводити перевірку. Але однорідні рівняння неприємні тим, що перевіряти їх загальні інтеграли зазвичай важко - для цього необхідна вельми і вельми пристойна техніка диференціювання. У розглянутому прикладі в ході перевірки вже довелося шукати не найпростіші похідні (хоча сам по собі приклад досить простий). Якщо зможете перевірити - перевіряйте!

Диференціальне рівняння першого порядку y ' = f(x, y) називається рівнянням із перемінними, Якщо функцію f(x, y) Можна представити у вигляді добутку двох функцій, що залежать тільки від x и y:

де p(x) і h(y) - Безперервні функції.

розглядаючи похідну y ' як відношення диференціалів  , перенесемо dx в праву частину і розділимо рівняння на h(y):

Зрозуміло, потрібно переконатися, що h(y) ? 0. Якщо знайдеться число x0, за якого h(x0) = 0, то це число буде також бути рішенням диференціального рівняння. розподіл на h(y) Призводить до втрати зазначеного рішення.

позначивши  , Запишемо рівняння у формі:

Тепер змінні розділені і ми можемо проінтегрувати диференціальне рівняння:

де C - Постійна інтегрування.

Обчислюючи інтеграли, отримуємо вираз

описує загальне рішення рівняння із перемінними.


питання



 Диференціальні рівняння вищих порядків. |  Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

 властивості |  визначення |  Властивості криволінійного інтеграла другого роду |  Питання. |  Питання. |  Питання. |  Формула Стокса |  Потенційне поле. |  Диференціальні рівняння першого порядку. |  Диференціальні рівняння другого порядку. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати