На головну

Питання 16.

Періодичність функцій, основний період функції, графік періодичної функції, теорема про період функції y=f(kx) (З доказом).

функція  називається періодичної, На безлічі M, якщо існує таке число Т> 0, зване періодом, що для будь-якого  виконуються наступні властивості:
 1) якщо  , то  і якщо  , то ;
 2) якщо  , то  і якщо  , то .

Якщо Т - період функції, то і kТ, де  , Так само є періодом функції. Найменший позитивний період (якщо він існує) називається основним періодом функції.

Графік періодичної функції складається з однакових «шматочків», при цьому значення функції на кінцях періоду повинні бути рівні.

Прикладом періодичної функції є функція  - "дробова частина числа". Основний період цієї функції дорівнює 1.

Властивості періодичних функцій.

1. Якщо безліч М, на якому задана функція необмежено, то область визначення містить як завгодно великі за абсолютною величиною позитивні і негативні числа. дійсно, kТ, де  , Є періодом функції, а значить x+ kТ належить області визначення функції. При цьому kТ може бути як завгодно великим по абсолютній величині позитивним або негативним числом.

2. Якщо безліч М, на якому задана функція необмежено, то періодична функція приймає кожне своє значення нескінченну кількість разів.

3. Якщо для періодичної функції  з періодом Т на деякому відрізку  виконується нерівність (  ), Де М - деяка константа, то функція  обмежена зверху (знизу). Дійсно, тому що довжина відрізка дорівнює періоду, то на цьому відрізку функція приймає всі свої значення.

Два числа Т1 і Т2 називаються сумірними, якщо їх відношення є раціональним числом.

4. Якщо функції и  - Періодичні на безлічі М, з основними періодами Т1 і Т2, Які є порівнянними, то і функція  - Періодична на безлічі М.

Дійсно, якщо Т1 і Т2, Сумірні, то з огляду на, що вони позитивні маємо  , де m и n - Натуральні. Звідси  Нехай Т =  . тоді = = .

Теорема.Якщо число T - основний період  , То число  - Основний період для  , де .
Доведення.Нехай Т - основний період  , Тоді:
 1. Якщо  , То і и  , Причому, одне з цих значень (в залежності від знака k, так само  , А обоє однаково  . Тобто и .

2.  , а значить,  . Тобто  - Період функції  при цьому  , де  теж період  . Зокрема, при  , Періодом буде .

якщо  , то  - Позитивний період функції  , а якщо  , то  - Позитивний період функції  . Таким чином,  - Позитивний період функції .

Доведемо, що  - Основний період для  , Тобто найменший позитивний.

Припустимо, що існує Т1, Такий що и  , тоді  , А це означає, що  - Період функції  , Але, тому що  , то  , А це суперечить тому, що Т - основний (тобто найменший позитивний) період

 



 Обмеженість функцій, найбільше та найменше значення функцій, екстремуми функцій. |  Поняття многочлена від однієї змінної, ступінь многочлена, нульовий многочлен, рівність многочленів, дії з многочленами.

 Подільність многочленів, властивості подільності многочленів, метод невизначених коефіцієнтів. |  Питання 19. |  Корінь многочлена. Теорема Безу (з доказом), слідства. Подільність двочлена на двочлен. |  Питання 21. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати