На головну

Збіжність розподілів (слабка збіжність) і її зв'язок зі збіжністю по імовірності. Теорема безперервності.

  1.  Стоматологія. Визначення спеціальності. Розділи стоматології. Зв'язок з іншими дисциплінами.
  2.  I. Потенціал і різниця потенціалів. Зв'язок між напруженістю електростатичного поля і різницею потенціалів.
  3.  LC-генератор з трансформаторної зв'язком. Принцип роботи. Призначення основних елементів.
  4.  Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів. Ознака Діріхле-Абеля (док-во).
  5.  Абсолютна і умовна збіжність рядів.
  6.  Абсолютна температура. Температура - міра середньої кінетичної енергії молекул. Зв'язок між температурою і енергією, середня квадратична швидкість (визначення).
  7.  Абсолютну збіжність.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Збіжність розподілів (слабка збіжність).

Це ще один спосіб характеристики близькості СВ, заснований на понятті збіжності їх ФР один до одного.

Нехай задані послідовність випадкових величин  , Що мають функції розподілу  , І випадкова величина  з функцією розподілу  . Було б природно вважати, що, якщо випадкова величина  , То її закон розподілу сходиться при  до закону розподілу випадкової величини  . Однак вимагати при цьому рівномірну збіжність ФР величин ,  нерозумно, тому що вона не буде мати місце, якщо ФР С.В.  має хоча б один розрив. Тому збіжність ФР розуміють в сенсі наступного визначення.

Опр. нехай  - Послідовність С.В., мають ФР ,  - С.В. з ФР  . Кажуть що  слабо сходиться до ФР  , якщо  в кожній точці  , Що є точкою неперервності граничної ФР  і пишуть

Сенс слабкої збіжності - це поточкова збіжність ФР в точках безперервності граничної ФР.

При цьому також говорять, що  слабо (або з розподілу) сходиться до СВ :

Важливо виділити наступний окремий випадок:

Лемма. Якщо гранична ФР є безперервною, то  (Слабка збіжність) еквівалентна рівномірної збіжності: .

Лемма. (Співвідношення між слабкою збіжністю і сходимостью по ймовірності).

1) З збіжності за ймовірністю слід слабка збіжність

2) Якщо граничне розподіл є виродженим, то слабка збіжність і збіжність за ймовірністю еквівалентні:

якщо  , то

Доведення:

1) Нехай  - Точка безперервності  . Доведемо, що якщо  , то

оцінимо ймовірності и  зверху і знизу:

для :

для :

.

Так як  , то  , Тобто

при

2)

має місце для  , Є точкою неперервності граничної Р, тобто для .

Доведемо, що .

тому точки и  - Точки неперервності  . Тобто .

На відміну від збіжності за ймовірністю слабка збіжність не зберігається при операціях додавання і множення СВ. Це справедливо тільки коли одне з розподілів є виродженим.

властивості:

1. Якщо ,  , то

2. Якщо ,  , то

Чудовий факт полягає в тому, що слабку збіжність розподілів можна повністю охарактеризувати за допомогою ХФ.

Теорема безперервності.

нехай  - Послідовність ФР, а  - Послідовність відповідних їм ХФ.

Для слабкої збіжності  необхідно і достатньо, щоб  , де  - ХФ, відповідна ФР .

Сенс теореми: вона встановлює, що відповідність між ФР і ХФ є не тільки взаємно однозначним, але і безперервним в тому слмисе, що межі в класі ФР оносительно слабкої збіжності відповідає межа в класі ХФ щодо поточечной збіжності.

Теорема безперервності є основним засобом доведення теорем про слабку збіжність розподілу на числовій прямій.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\



 Характеристичні функції випадкових векторів |  Центральна гранична теорема (ЦПТ) для незалежних однаково розподілених СВ. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

 Функції від випадкових величин |  Функції від випадкових векторів |  Закон розподілу суми СВ. Композиція (згортка) законів розподілу. Приклад. |  нерівність Чебишева |  Види збіжності послідовностей С.В. і зв'язку між ними. |  Закон великих чисел (ЗБЧ) для послідовностей СВ. Теореми Маркова та Чебишева. |  Характеристична функція СВ і її властивості. |  Властивості ХФ. |  Характеристичні функції найважливіших СВ. Стійкість нормального закону розподілу. |  Безперервні випадкові величини |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати