Головна |
Поряд з розглянутими вище числовими характеристиками випадкових векторів, в додатках використовуються також і моменти більш високих порядків.
Якщо заданий випадковий вектор , То величини
и
називаються початковими і центральними змішаними моментами порядку відповідно ( ). Обчислюються моменти більш високих порядків за формулами для , Що випливають з узагальнення ОТМО на багатовимірний випадок.
Зокрема,
.
приклад 1. Закон розподілу випадкового вектора заданий таблицею:
-1 | 0,1 | 0,2 | |
0,3 | 0,1 | ||
0,1 | 0,2 |
Знайти: 1) закони розподілу випадкових величин и . Чи випадкові величини и незалежними?
2) кореляційну матрицю. Чи випадкові величини и некоррелірованнимі?
3) умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що випадкова величина прийняла значення, рівне 0; обчислити и .
Рішення. 1) Для випадкової величини ймовірності її значень знаходяться підсумовуванням ймовірностей в -му рядку таблиці ( ):
Тому закон розподілу випадкової величини має вигляд:
-1 | |||
0,3 | 0,4 | 0,3 |
Ймовірності значень випадкової величини знаходяться підсумовуванням ймовірностей в -ом стовпці таблиці ( ):
.
Тому закон розподілу випадкової величини має вигляд:
0,5 | 0,4 | 0,1 |
Умовою незалежності випадкових величин и є рівність:
, для всіх .
Оскільки в даному випадку
, то
і, отже, випадкові величини и залежні.
2) Знайдемо математичні очікування випадкових величин и , Використовуючи одномірні закони розподілу:
;
.
Знайдемо далі дисперсії и по одновимірним законам розподілу:
;
.
кореляційний момент знаходиться лише за спільним закону розподілу випадкових величин и :
(Відсутні складові рівні 0).
Оскільки кореляційний момент , То випадкові величини и є некоррелірованнимі.
Кореляційна матриця має вигляд:
.
3) Умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що випадкова величина визначається сукупністю умовних ймовірностей:
,
які дорівнюють: .
Записується умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що випадкова величина у вигляді таблиці:
Знайдемо умовне математичне очікування :
.
умовна дисперсія обчислюється за формулою:
.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Числові характеристики випадкових векторів. Кореляційна матриця і її властивості. Поняття про моменти випадкових векторів. | Теореми про числові характеристики.
Випадкові вектори. Функція розподілу випадкового вектора та її властивості. | Властивості двовимірної функції розподілу | Аналогічними є визначення і властивості багатовимірної функції розподілу. | Властивості багатовимірної функції розподілу | Дискретні випадкові вектори. Закон розподілу дискретної випадкової вектора. | Безперервні випадкові вектори. Щільність ймовірностей випадкового вектора та її властивості. | Властивості двовимірної щільності ймовірностей | Рівномірний розподіл в області на площині. Рівномірні розподілу в прямокутнику і в колі. | Незалежність випадкових величин. Умови незалежності. Незалежність в сукупності. | Умовні закони розподілу. Умовна щільність ймовірностей і її властивості. Умовні числові характеристики. |