На головну

Формула Ейлера. Межі застосування формули Ейлера.

  1.  I. Когнітивна сфера - Межі пізнання.
  2.  Microsoft Word: Робота з формулами
  3.  А) Додавання і множення ймовірностей. Повна ймовірність. Формула Байєса.
  4.  Абсолютна, відносна та приведена похибки вимірювальних приладів. Формули, визначення
  5.  Абсолютно чорне тіло. Формула Релея-Джинса.
  6.  Агрегати для освоєння і ремонту свердловин (класифікація і порівняльна характеристика, основні розрахункові формули).
  7.  Алгебра випадкових подій, діаграми Вьенна-Ейлера.

Для шарнірно закріпленого, центрально-стиснутого стержня постійного перетину (рис.8.2). I Формула Ейлера має вигляд:

 де Е - модуль поздовжньої пружності матеріалу стержня;
 Jmin - мінімальний момент інерції поперечного перерізу стержня.
 Для стрижнів з іншими видами закріплення формулу Ейлера записують у вигляді:

 де  - Приведена довжина стержня;
 - Коефіцієнт приведення довжини.
 Вираз "приведена довжина" означає, що у формулі Ейлера за допомогою коефіцієнта  всі випадки закріплення кінців стрижня можна привести до основного, шарнірному закріпленню.
 Коефіцієнт приведення довжини  іноді можна оцінити по числу півхвиль n, за якими витріщивши стрижень, втрачаючи стійкість, а саме, можна прийняти

 На рис. 8.2 показані найбільш часто зустрічаються на практиці випадки закріплення кінців стрижня і відповідні їм значення коефіцієнта

 Мал. 8.2

Формула Ейлера застосовна тільки про межах виконання закону Гука, коли критична напруга  не перевищує межу пропорційності матеріалу стержня, так як ця формула була введена за допомогою залежності

 свого часу отриманої на підставі закону Гука.
 Застосування формули Ейлера можна визначити, оцінивши стійкість і порівнявши цю гнучкість з її граничним значенням. Стійкість дорівнює

 де
 - Мінімальний радіус інерції (геометрична характеристика перетину);
 - Мінімальний момент інерції площі перерізу стержня.
 Значення граничної гнучкості  виходить з умови

 Гранична гнучкість дорівнює

Здавалося б, що отримані в попередніх параграфах результати вирішують задачу перевірки стиснутого стержня на стійкість; залишається вибрати лише коефіцієнт запасу  . Однак це далеко не так. Найближче ж вивчення числових величин, одержуваних за формулою Ейлера, показує, що вона дає правильні результати лише в певних межах.

На рис.1 приведена залежність величини критичних напружень, обчислених при різних значеннях гнучкості для стали 3, зазвичай застосовується в металевих конструкціях. Ця залежність представляється гіперболічної кривої, так званої «гіперболою Ейлеpa»:

При користуванні цією кривою треба згадати, що надається нею формула  отримана за допомогою інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі, т. е. в припущенні, що напруги в стрижні в момент втрати стійкості не перевершують межі пропорційності.

Рис.1. Гіперболічна залежність критичної напруги від гнучкості стрижня

Отже, ми не маємо права користуватися величинами критичних напружень, обчислених за формулою Ейлера, якщо вони виходять вище цієї межі для даного матеріалу. Інакше кажучи, формула Ейлера застосовна лише при дотриманні умови:

 або

Якщо з цієї нерівності висловити гнучкість  , То умова застосовності формул Ейлера отримає інший вигляд:

Підставляючи відповідні значення модуля пружності і межі пропорційності для даного матеріалу, знаходимо найменше значення гнучкості, при якій ще можна користуватися формулою Ейлера. Для стали 3 межа пропорційності може бути прийнятий рівним  , Тому, для стрижнів з цього матеріалу можна користуватися формулою Ейлера лише при гнучкості

т. е. більшої, ніж 100%

Для стали 5 при  формула Ейлера застосовна при гнучкості  ; для чавуну - при  , Для сосни - при  і т. д. Якщо ми на Рис.1 проведемо горизонтальну лінію з ординатою, що дорівнює  , То вона розітне гіперболу Ейлера на дві частини; користуватися можна лише нижньою частиною графіка, що відноситься до порівняно тонким і довгим стержнів, втрата стійкості яких відбувається при напрузі, що лежать не вище межі пропорційності.

Теоретичне рішення, отримане Ейлером, виявилося застосовним на практиці лише для дуже обмеженій категорії стрижнів, а саме, тонких і довгих, з великою гнучкістю. Тим часом, в конструкціях дуже часто зустрічаються стрижні з малою гнучкістю. Спроби використовувати формулу Ейлера для обчислення критичних напружень і перевірки стійкості при малих гнучкістю вели іноді до дуже серйозних катастроф, та й досліди над стисненням стрижнів показують, що при критичних напружених, великих межі пропорційності, дійсні критичні сили значно нижче визначених за формулою Ейлера.

Таким чином, треба знайти спосіб обчислення критичних напружень і для тих випадків, коли вони перевищують межу пропорційності матеріалів, наприклад, для стрижнів з м'якої сталі при гнучкості від 0 до 100.

Необхідно відразу ж зазначити, що в даний час найважливішим джерелом для встановлення критичних напружень за межею пропорційності, т. Е. При малих і середніх гнучкість, є результати експериментів. Є спроби і теоретичного вирішення цього завдання, але вони скоріше вказують шлях до подальших досліджень, ніж дають підстави для практичних розрахунків.

Перш за все треба виділити стрижні з малою гнучкістю, від 0 приблизно до 30-40; у них довжина порівняно невелика по відношенню до розмірів поперечного перерізу. Наприклад, для стержня круглого перетину гнучкості 20 відповідає відношення довжини до діаметру, рівне 5. Для таких стрижнів важко говорити про явище втрати стійкості прямолінійної форми всього стрижня в цілому в тому сенсі, як це має місце для тонких і довгих стрижнів.

Ці короткі стрижні будуть виходити з ладу головним чином за рахунок того, що напруження стиску в них будуть досягати межі текучості  (При пластичному матеріалі) або межі міцності  (При тендітних матеріалах). Тому для коротких стрижнів, до гнучкості приблизно 30  40, критичні напруги «дорівнюватимуть, або трохи нижче (за рахунок спостерігається все ж деякого викривлення осі стрижня), відповідно або  (Сталь), або  (Чавун, дерево).

Таким чином, ми маємо два граничних випадки роботи стислих стрижнів: короткі стрижні, які втрачають вантажопідйомність в основному за рахунок руйнування матеріалу від стиснення, і довгі, для яких втрата вантажопідйомності викликається порушенням стійкості прямолінійної форми стрижня. Кількісне зміна співвідношення довжини і поперечних розмірів стрижня змінює і весь характер явища руйнування. Загальним залишається лише раптовість настання критичного стану в сенсі раптового різкого зростання деформацій.

У стислих стрижнях більшої гнучкості, для яких може бути застосована формула Ейлера, після досягнення силою Р критичного значення зазвичай спостерігається різке зростання деформацій. До цього моменту прогини, як правило, ростуть із зростанням навантаження, але залишаються незначними. Теоретично можна було б очікувати, що до критичної сили стрижень буде залишатися прямим; проте ряд неминучих на практиці обставин - початкова кривизна стрижня, деякий ексцентриситет прикладання навантаження, місцеві перенапруги, неоднорідність матеріалу - викликають невеликі прогини і при стискають силах, менших критичних.

Подібний же характер має і залежність вкорочень від напруги при стисненні коротких стрижнів; ми має ту ж раптовість зростання деформацій при певній величині напружень (коли  ).

Нам залишається тепер розглянути поведінку стиснутих стержнів при середніх величинах гнучкості, наприклад для сталевих стрижнів при гнучкості від 40 до 100; з подібними значеннями гнучкості інженер найчастіше зустрічається на практиці.

За характером руйнування ці стрижні наближаються до категорії ^ тонких і довгих стрижнів; вони втрачають свою прямолінійну форму і руйнуються при явищах значного бічного витріщення. При дослідах для них можна відзначити наявність чітко висловленої критичної сили в «ейлеровом» сенсі; критичні напруги виходять вище межі пропорційності і нижче межі текучості для пластичних і межі міцності для крихких матеріалів.

Однак втрата прямолінійної форми і зниження критичних напружень у порівнянні з короткими стрижнями для цих стрижнів «середньої» гнучкості пов'язані з такими ж явищами порушення міцності матеріалу, які викликають втрату вантажопідйомності в коротких стрижнях. Тут комбінуються і вплив довжини, що знижує величину критичних напружень, і вплив значного зростання деформацій матеріалу при напружених за межею пропорційності.

Експериментальне визначення критичних сил для стиснутих стержнів вироблялося неодноразово як у нас, так і за кордоном. Особливо великий досвідчений матеріал зібрав проф. Ф. Ясинський, що склав таблицю критичних ( «ламають») напружень в. Залежно від гнучкості для цілого ряду матеріалів і поклав початок сучасним методам розрахунку стиснутих стрижнів на стійкість.

На підставі отриманого досвідченого матеріалу можна вважати, що при критичних напружених, менших межі пропорційності, все експерименти підтверджують формулу Ейлера для будь-якого матеріалу.

Для стрижнів середньої і малої гнучкості були запропоновані різні емпіричні формули, що показують, що критичні напруги при таких гнучкість змінюються згідно із законом, близькому до лінійного:

де а и b - Коефіцієнти, що залежать від матеріалу, a  - Стійкість. Для литого заліза Ясинський отримав: а = 338,7МПа, b = 1,483 МПа. Для стали 3 при гнучкості від  = 40 до  = 100 коефіцієнти а иb можуть бути прийняті: а = 336 МПа; b = 1,47МПа. Для дерева (сосна): а = 29,3 МПа; b = 0,194 МПа.

Іноді зручні емпіричні формули, що дають для непружної області зміна критичних напружень за законом квадратної параболи; до них відноситься формула

тут при  = 0 вважають  для пластичного і  для крихкого матеріалу; коефіцієнт а, Підібраний з умови плавного сполучення з гіперболою Ейлера, має значення:

для сталі з межею текучості  = 280 МПа а = 0,009 МПа

сосни міцності  = 30; а = 0,0008 »

чавуну  = 420; а = 0,044 »

При наявності наведених тут даних може бути побудований повний графік критичних напружень (в залежності від гнучкості) для будь-якого матеріалу. На Рис.2 наведено такий графік для будівельної сталі з межею текучості  і межею пропорційності .

Рис.2. Повний графік критичних напружень для будівельної сталі.

Графік складається з трьох частин: гіперболи Ейлера при  , Похилій прямій при  і горизонтальної, або слабо похилій, прямий при  . Подібні ж графіки можна побудувати, комбінуючи формулу Ейлера з результатами експериментів, і для інших матеріалів.

Таким чином, можна вважати, що завдання визначення критичних напружень для стрижнів будь гнучкості вирішена з достатньою для практичних цілей точністю.

 



 Стійкість. Стійкість рівноваги стислих стрижнів. |  Практичний розрахунок для визначення критичної сили стійкості.

 Напружений стан при чистому зсуві. |  Модуль Юнга при зсуві. |  Зв'язок модуля зсуву з модулем пружності і коефіцієнтом Пуассона. |  Практичні розрахунки на зрушення. |  Поперечний і справжній вигин. |  Зв'язок між поперечною силою і изгибающим моментом. |  Види опорних закріплень |  Побудова епюр поздовжніх сил Nz |  Напруження в поперечних перетинах стрижня при чистому вигині. |  Дотичні напруження. Формула Жуковського. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати