Економічний зміст похідної |  Основні правила диференціювання |  Похідна складної функції |  Диференціальні рівняння 1-го порядку із перемінними. |

загрузка...
загрузка...
На головну

На відрізку.

  1.  Питання 23. Теорема про обмежену функції на відрізку.
  2.  Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
  3.  Безперервність функції, класифікація точок розриву. Св-ва функцій, безперервних на відрізку.
  4.  Властивості неперервних функцій. Тут будуть сформульовані важливі властивості функцій безперервних в точці і на відрізку.
  5.  Властивості функцій неперервних на відрізку.
  6.  Властивості ФУНКЦІЙ БЕЗПЕРЕРВНИХ на відрізку. ГЕОМЕТРИЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ЦИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ.

28. ознаки угнутості і опуклості графіків, точки перегину

Опуклість, увігнутість і точки перегину графіків функцій:

 Крива y = f (x) звернена в точці x0 опуклістю догори (донизу), Якщо існує околиця x0 така, що для всіх точок цієї околиці дотична до кривої в точці x0 (Т. Е. В точці  , Що має абсциссу х0) Розташована вище (нижче) самої кривої (на рис. В точці х1 крива обернена опуклістю донизу, в точці х2 - Догори). Замість слів "опукла догори (донизу)" вживаються слова "Увігнута донизу (догори)". Кажуть, що точка х0 є точка перегину кривої y = f (x), якщо при переході х через x0 точка кривої (що має абсциссу х) переходить з одного боку дотичної на іншу (на рис. точка х3 - Точка перегину). Інакше кажучи, існує досить мале ?> 0 таке, що для всіх х? (х0-?, Х0) Крива знаходиться з одного боку дотичної в х0, А для всіх х? (х0, х0+ ?) - з іншого. Зазначені визначення виділяють можливі розташування кривої щодо дотичній до неї в досить малій околиці точки дотику. Але не потрібно думати, що ці визначення вичерпують всі можливі випадки такого розташування. Для функції вісь х перетинає і стосується графіка функції в точці x = 0 і х = 0 не їсти точка перегину. Теорема №1: Якщо функція f має в точці x0 другу безперервну похідну і f '(x0)> 0 (<0), то крива y = f (x) звернена в x0 опуклістю донизу (догори). Доведення: Розкладаємо f в околиці х = х0 за формулою Тейлора

f (x) = f (x0) + F '(x0) (X-x0) + R1(X),

r1(X) = ((x-x0)2/ 2) f '' (x0+ ? (x- x0)) (При 0 0: Y = f (x0) + F '(x0) (X-x0). Тоді перевищення кривої f над дотичній до неї в точці x0 одно f (x) -Y = r1(X). Таким чином, залишок r1(Х) дорівнює величині перевищення кривої f над дотичній до неї в точці x0, В силу безперервності f '' якщо f "(x0)> 0, то і f "(x0+ ? (x- x0))> 0 для х, що належать досить малій околиці точки x0, А тому, очевидно, і r1(Х)> 0 для будь-якого відмінного від x0 значення х, що належить до зазначеної околиці. Значить, графік функції лежить вище дотичної і крива звернена в точці x0 опуклістю донизу. Аналогічно, якщо f '' (x0) <0, то r1(Х) <0 для будь-якого відмінного від x0 значення х, що належить до певної околиці точки x0, Т. Е. Графік функції лежить нижче дотичної і крива звернена в x0 опуклістю догори. слідство: якщо x0 є точка перегину кривої y = f (x) і в ній існує друга похідна f "(x0), То остання необхідно дорівнює нулю (f "(x0) = 0). Цим користуються на практиці: при знаходженні точок перегину двічі диференціюється кривої у = f (х) шукають їх серед коренів рівняння f "(x) = 0. достатня умова для існування точки перегину у кривої дається наступною теоремою. Теорема №2: Якщо функція f така, що похідна, f '" неперервна в x0, A f "(x0) = 0 і f '"(x0) ?0, то крива у = f (х) має в x0 точку перегину. Доведення: В цьому випадку f (x) = f (x0) + F '(x0) (X-x0) + R2(X),

r2(X) = ((x-x0)3/ 3!) F '''(X + ? (x-x0)). В силу безперервності f '''(x0) І того факту, що f '"(x0) ?0, слід, що f '''(x0+ ? (x-x0)) Зберігає знак в деякій околиці точки х0; він один і той же справа і зліва від точки x0. З іншого боку, множник (х-x0)3 змінює знак при переході х через x0, А разом з ним і величина r2(Х) (рівна перевищення точки кривої над дотичній в x0) Змінює знак при переході х через x0. Це доводить теорему. Сформулюємо більш загальну теорему: теорема №3: Нехай функція f має такі властивості: f '' (x0) = ... = F(n)(x0) = 0, f(n+1)(X) неперервна в x0 і f(n+1)(x0) ?0. Тоді, якщо n - непарне число, то крива у = f (х) обернена опуклістю вгору або вниз в залежності від того, чи буде, f(n+1)(x0) <0 або f(N + 1)(x0)> 0, а якщо n -четное, то x0 є точка перегину кривої. Доказ засноване на тому, що при зазначених умовах має місце розкладання по формулі Тейлора f (x) = f (x0) + (X-x0) F '(x0) + (((X-x0)n+1) / (N + 1)!) F(n+1)(x0+ ? (x-x0)). На закінчення зазначимо, що говорять також, що крива y = f (x) має точку перегину в точці х, де похідна f дорівнює + ? або-?.

 За визначенням крива y = f (x) наз. опуклою догори (донизу) на відрізку [а, b], Якщо будь-яка дуга цієї кривої з кінцями в точках з абсциссами х1, х2(а?x12?b) розташована не нижче (не вище) стягивающей її хорди (рис-ки). зауваження: Якщо f диференційована на [а, B], то наведене визначення опуклості на відрізку еквівалентно наступному: крива y = f (x) наз. опуклою догори (донизу) на відрізку [а, B], якщо вона опукла догори (донизу) в кожній точці х інтервалу (а, B). Теорема №4: Нехай функція f неперервна на [а, b] і має другу похідну на (а, b). Для того щоб крива y = f (x) була опуклою догори (донизу) на [а, b], необхідно і достатньо, щоб виконувалася нерівність f '' (x) ?0 (f '' (x) ?0) для всіх х? (а, b).

29. невизначений інтерграл, властивості



 Похідні вищих порядків. Біном Ньютона. |  Деякі табличні інтеграли
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати