На головну

Однорідні диференціальні рівняння

  1.  Автор основного рівняння квантової механіки
  2.  Алгебраїчне відображення впливу змін, що відбуваються з об'єктами динамічного балансового рівняння під впливом фактів господарського життя
  3.  Алгоритм рішення рівняння методом варіації постійної.
  4.  Алгоритм рішення рівняння методом підстановки.
  5.  Аналіз загального рівняння площини
  6.  Аналіз рівняння Бернуллі
  7.  Аналіз рівняння Ейлера. Ненаголошений вхід.

(Диференціальні рівняння з однорідними функціями)

функція  називається однорідною n-го виміру, якщо  , де t - Параметр.

Наприклад, для функції  знаходимо

.

Отже, ця функція другого виміру (n = 2).

Покажемо, що частка двох однорідних функцій и  одного і теж вимірювання є однорідна функція нульового виміру. дійсно,

.

Однорідними диференціальнимирівняннями називаються рівняння виду

,

де и  - Однорідні функції одного виміру.

Дане рівняння можна привести до рівняння із перемінними. Для цього перетворимо рівняння

.

позначимо  . Тоді рівняння прийме має вигляд

,

де  - Однорідна функція нульового виміру, т. Е.

.

Якщо прийняти параметр  , то .

рівняння  зводиться до рівняння із перемінними за допомогою підстановки

 або ,

де u = u (x) - Функція від x.

знайдемо похідну  і підставимо її в рівняння, отримаємо

.

Розділимо змінні і проинтегрируем

? .

Рішення рівняння зведено до знаходження інтегралів. В результаті інтегрування отримано загальний інтеграл  . Для знаходження загального інтеграла вихідного диференціального рівняння необхідно зробити зворотний заміну змінної  , В результаті якої загальний інтеграл матиме вигляд

.

приклад 7.10. Вирішити рівняння  ; при х = 1 y = 1.

використовуємо підстановку  . знаходимо  і підставляємо в рівняння. отримуємо

.

Згрупуємо окремо складові з и

.

Розділимо змінні і проинтегрируем

.

Виконаємо зворотну підстановку  , Запишемо загальний інтеграл

.

Знайдемо значення довільної сталої С, Відповідне початкових умов .

.

Запишемо приватне рішення

.

приклад 7.11. Вирішити рівняння  ; при х = 1 .

використовуємо підстановку  . знайдемо  . підставами y и  в рівняння, отримаємо

.

У цьому рівнянні згрупуємо в одному доданку  , А в іншому все інші складові, отримаємо

.

Враховуємо, що  , маємо

.

Розділимо змінні і проинтегрируем

.

отримуємо

? .

Виконуємо зворотну заміну змінної  , Отримуємо загальний інтеграл

.

Знаходимо значення довільної сталої.

при  отримаємо ? .

Записуємо приватне рішення

.

 



 Диференціальні рівняння із перемінними |  Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

 загальні поняття |  Диференціальні рівняння першого порядку |  Диференціального рівняння першого порядку |  рівняння Бернуллі |  У повних диференціалах |  Диференціальні рівняння вищих порядків |  До диференціальних рівнянь першого порядку |  Лінійна залежність функцій. визначник Вронського |  Структура загального рішення лінійного неоднорідного |  Комплексні числа і дії над ними |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати