На головну

загальні поняття

  1.  A. Загальні характеристики
  2.  I. Основні поняття ОРГАНІЗАЦІЙНОЇ СОЦІАЛЬНОЇ ПСИХОЛОГІЇ
  3.  III. Загальні обов'язки працівників залізничного транспорту
  4.  V2: {{2}} 1.2 Загальні відомості про вагонному комплексі залізничного транспорту
  5.  А) Загальні відомості
  6.  Адміністративні покарання: поняття, цілі, види
  7.  Аналіз простих резистивних ланцюгів з використанням поняття вхідного опору.

Глава 7. Диференціальні рівняння

загальні поняття

Рівняння називається диференціальним, якщо воно містить похідні або диференціали шуканої функції, шукану функцію і незалежну змінну.

У загальному випадку диференціальне рівняння має вигляд:

 або .

порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідних шуканої функції, що входить в рівняння.

наприклад:

рівняння  першого порядку;

рівняння  другого порядку;

рівняння  третього порядку.

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо шукана функція залежить від однієї змінної. Наведені вище диференціальні рівняння звичайні.

Диференціальне рівняння називається рівнянням в приватних похідних, Якщо шукана функція залежить від декількох змінних.

наприклад, .

Диференціальне рівняння називається лінійним, якщо воно лінійне щодо шуканої функції і її похідних, т. е. функція і її похідні входять в рівняння тільки в першого ступеня.

У загальному випадку лінійне диференціальне рівняння має вигляд

,

де  - Безперервні функції.

Якщо в цьому рівнянні права частина  дорівнює нулю, то рівняння називається однорідним, Інакше неоднорідним.

наприклад,  - Лінійне однорідне рівняння,  - Лінійне неоднорідне рівняння.

Диференціальне рівняння називається нелінійним, Якщо воно є нелінійним відносно шуканої функції або її похідних.

Наприклад, нелінійними є рівняння: , , .

рішенням диференціального рівняння називається будь-яка функція, яка при підстановці в рівняння звертає їх у тотожність.

приклад 7.1. Перевірити чи є функція  рішенням рівняння  . знаходимо  . підставляємо и  в рівняння, отримуємо U  - Тотожність. Отже, дана функція є рішенням рівняння.

приклад 7.2. Перевірити чи є рішеннями диференціального рівняння  функції .

знаходимо  , Підставляємо в рівняння  , Отримуємо тотожність .

Знаходимо похідні другий функції

,  , Підставляємо їх в рівняння, отримуємо

також тотожність.

Отже, обидві функції є розв'язками одного і того ж рівняння.

вирішити диференціальне рівняння - означає знайти всі його рішення.

Вирішимо два простих рівняння: и .

знаходимо .

Отже, рішення диференціального рівняння першого порядку містить одну довільну постійну.

Вирішимо друге рівняння.

.

Отже, диференціальне рівняння другого порядку містить дві довільні постійні. З даних прикладів можна помітити, що рішення диференціального рівняння містить стільки довільних постійних, який порядок рівняння.

спільним рішенням диференціального рівняння n-го порядку називається рішення даного рівняння, що містить стільки довільних постійних, незалежних один від одного, який порядок рівняння, т. е. n.

Часто загальне рішення диференціального рівняння неможливо знайти в явному вигляді, а можна отримати його тільки в неявній записи. Тому вводиться поняття загального інтеграла

загальним інтегралом диференціального рівняння n-ого порядку називається рівняння, що виходить при інтегруванні диференціального рівняння, що не містить похідних і диференціалів шуканої функції, а що містить n довільних постійних, незалежних один від одного.

Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння n-ого порядку має вигляд

,

а загальний інтеграл

.

приватним рішенням (Інтегралом) диференціального рівняння називається рішення (інтеграл), що виходить із загального при конкретних значеннях довільних постійних.

Графік приватного рішення диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Загальне рішення диференціального рівняння представляє сімейство інтегральних кривих.

Якщо відомо спільне рішення або загальний інтеграл, то можна знайти відповідне їм диференціальне рівняння.

Нехай є спільне рішення  . Для складання відповідного йому диференціального рівняння необхідно знайти стільки похідних даного рішення, скільки довільних постійних зазначеним у ньому. Тоді вийде система, що складається з (n+1) -го Рівняння з n довільними постійними .

Для того щоб отримати відповідне диференціальне рівняння, необхідно в цій системі виключити довільні постійні. Наприклад, знайти  з перших n співвідношень і підставити останнім.

Приклад 7.3. Знайти диференціальне рівняння, для якого загальне рішення має вигляд .

знаходимо .

приклад 7.4. Знайти вид диференціального рівняння, якщо спільне рішення .

складаємо систему

З останнього співвідношення маємо  і підставляємо в перший співвідношення, отримуємо рівняння  або .

 



 ТОПОГРАФІЯ щитовидної залози |  Диференціальні рівняння першого порядку

 Диференціального рівняння першого порядку |  Диференціальні рівняння із перемінними |  Однорідні диференціальні рівняння |  Лінійні диференціальні рівняння першого порядку |  рівняння Бернуллі |  У повних диференціалах |  Диференціальні рівняння вищих порядків |  До диференціальних рівнянь першого порядку |  Лінійна залежність функцій. визначник Вронського |  Структура загального рішення лінійного неоднорідного |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати