Головна |
Нагадаємо визначення скалярного твори в комплексному векторному просторі.
Визначення 1. комплексне число називають скалярним твором векторів и лінійного над полем простору , Якщо воно задовольняє наступним вимогам (аксіом):
1) , ; 2) ; 3) ; 4) ; .
Слідство 1. . дійсно,
. Що й потрібно було довести.
Слідство 2. .
дійсно, .
Що й потрібно було довести.
Слідство 3.
. (1)
Дійсно, використовуючи аксіоми і слідства 1, 2, для будь-якого отримаємо
.
якщо , То маємо вірне нерівність .
якщо , То поклавши , отримаємо
- Знову вірне нерівність, що збігається з (1). Що й потрібно було довести.
Нерівність (1) називають нерівністю Коші-Буняковського (див. §1 глави 3).
Визначення 2.Комплексне лінійний простір зі скалярним добутком називають предгільбертовим, а речовий простір зі скалярним добутком називають евклідовим.
Приклад 1.У лінійному просторі послідовностей комплексних чисел , , Скалярний твір введемо по формулі
. (2)
Якщо ряд (2) сходиться, то аксіоми скалярного твори очевидні. Переконаємося, що він сходиться. Використовуючи нерівність Коші-Буняковського, отримаємо
.
але ряди , сходяться за умовою, тому ряд (2) сходиться.
Приклад 2.У лінійному просторі комплекснозначних безперервних функцій скалярний добуток введемо по формулі . Всі аксіоми скалярного твори виконуються.
Теорема 1.Будь-яке предгільбертово простір буде нормованим, якщо норму визначити формулою
. (3)
Доведення.Перевіримо виконання вимог норми. Перша вимога норми - наслідок першої аксіоми скалярного твори. Однорідність норми випливає з третьої аксіоми скалярного твори і слідства 1. Дійсно, . Що й потрібно було довести. Для доказу полуаддітівності норми скористаємося нерівністю Коші-Буняковського . маємо . Що й потрібно було довести.
Предгільбертово простір, в якому норма введена за формулою (3), називають унітарною. Оскільки унітарна простір є і метричних, і нормованим, то на нього переносяться всі властивості метричного нормованого просторів. При цьому
. (4)
Відзначимо деякі властивості унітарного простору.
1. Алгебраїчні операції та скалярний твір безперервні. Дійсно, алгебри безперервні, оскільки вони безперервні в нормованому просторі (див. §3). А скалярний твір безперервно, так як неперервна метрика (див. §8 глави 3).
2. В унітарній просторі справедливо рівність паралелограма, тобто
. (5)
Дійсно, використовуючи (3) і властивості скалярного твори, маємо
.
Що й потрібно було довести.
3. Поповнення унітарного простору саме є унітарною простором. Дійсно, нехай - Унітарна простір, а - Його поповнення. Тоді знайдеться клас еквівалентних послідовностей такий, що , (Див. §8 глави 3). Оскільки скалярний добуток і норма безперервні в , То продовжимо їх по безперервності в , Тобто покладемо . Так як ліві частини останніх рівностей рівні, то рівні й праві частини, тобто , або , Що і означає унітарність простору .
Визначення 3.Повний щодо метрики (4) предгільбертово простір називають Гільбертовим і позначають .
В §4 глави 3 ми переконалися, що метричний простір повне. Оскільки в цьому просторі справедливо рівність (4), то це простір повне евклидово (гильбертово).
Наведемо ще один приклад гильбертова простору.
Приклад 3.простір зі скалярним добутком (2) і нормою є Гільбертовим. дійсно,
, Тобто справедливі рівності (4). Отже, простір унітарне, а так як воно повне по метриці (див. §2), то воно гильбертово.
Приклад 4.простір комплекснозначних функцій зі скалярним добутком і метрикою (4) є Гільбертовим (див. Зауваження в §4 глави 3).
Гільбертовому просторі є природним узагальненням простору геометрії Евкліда. У ньому можна ввести, наприклад, поняття перпендикулярності (ортогональности) векторів. нехай - Предгільбертово (гильбертово) простір. елементи називаються ортогональними, якщо . пишуть . якщо ортогонален кожному елементу множини , То його називають ортогональним безлічі і пишуть . Якщо всі елементи множин попарно ортогональні, то ці множини називають ортогональними, пишуть .
система елементів предгільбертова простору називається ортогональної, якщо будь-які два різні елементи цієї системи ортогональні. Якщо при цьому норма кожного елемента дорівнює одиниці, то систему називають ортонормованій.
Якщо в лінійному нормованому просторі існує незалежних векторів, а вектор лінійно залежний, то простір називають -мірним, пишуть . Якщо для будь-якого існує лінійно незалежних векторів, то простір називають безкінечномірні.
Теорема 2. ортонормированном система , , Лінійно незалежна.
Доведення. Від противного. нехай система лінійно залежна, тобто , . Помноживши цю рівність скалярно на елемент , маємо . Отримали протиріччя, що й доводить теорему.
Визначення 4.ортонормированном система називається повною, якщо з рівності слід , Тобто її не можна поповнити шляхом приєднання нових елементів з .
Це твердження рівнозначно тому, що найменше замкнутий підпростір, що містить повну систему , Збігається з усім простором .
Визначення 5.Повна ортонормированном система називається ортонормованим базисом простору.
Наведемо деякі приклади.
Приклад 5.В просторі система векторів , - Ортонормованій базис. Дійсно, ортонормірованность очевидна, а повнота випливає з того, що будь-який елемент з можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних векторів, .
Приклад 6.В просторі (Див. Приклад 1) система векторів , - Ортонормованій базис. Ортонормірованность очевидна. Переконаємося в повноті. нехай . очевидно, (Див. Приклад 4). тоді при як залишок сходиться ряду (див. приклад 1). Таким чином, система повна, а простір нескінченно мірне.
Приклад 7.простір (Див. Приклад 2). Серед різних базисів цього простору найважливішим є тригонометрическая система
, .
Ортонормірованность і повнота системи доведені в курсі математичного аналізу.
Теорема 3 (про ортогоналізації). нехай - Лінійно незалежна система елементів предгільбертова простору . Тоді існує ортонормированном система така, що
, , . (4)
Доведення.Скористаємося процесом ортогоналізації Шмідта. покладемо . елемент , Ортогональний елементу , Будемо шукати у вигляді . очевидно, , В іншому випадку маємо . , тобто - Лінійно-залежні, що суперечить умові. З умови ортогональності векторів знайдемо
.
аналогічно елемент ортогональний елементам и шукаємо у вигляді . З умови ортогональності отримаємо систему .
нехай вже знайдені. тоді шукаємо у вигляді . З умови ортогональності всім попереднім знайдемо , . Згідно з методом математичної індукції ми побудували систему ортогональних векторів. Розділивши кожен вектор на його норму, отримаємо ортонормированном систему векторів. Враховуючи що виражаються через , Отримаємо (4). Теорема доведена.
Теорема 4.У всякому сепарабельном предгільбертовом просторі існує ортонормованій базис з кінцевого або рахункового числа елементів.
Доведення.нехай - Рахункова усюди щільне безліч простору . Виберемо з нього повну лінійно незалежну систему функцій . Для цього досить з системи викинути ті елементи , Які можна представити у вигляді лінійної комбінації деяких попередніх елементів. Частину, що залишилася лінійно незалежну систему відповідно до теореми 3 ортонорміруем. В результаті отримаємо базис. Що й потрібно було довести.
Напівнорма і локально опуклі топологічні простори | Завдання про найкраще наближення. ортогональное доповнення
Поняття топологічного векторного простору | Нормовані і топологічні нормовані простору | Ряди Фур'є в гільбертовому просторі |