Головна

Простору зі скалярним твором. гільбертовому просторі

  1.  Cімметрія простору - часу і закони збереження
  2.  N-мірне метричний простір, відстань між точками.
  3.  N-мірний вектор і векторний простір
  4.  Адресний простір процесу
  5.  Аналіз норм проектування паркувального простору
  6.  Базис і розмірність лінійного простору.
  7.  Вдавлювання абсолютно жорсткого кулі в пружний півпростір

Нагадаємо визначення скалярного твори в комплексному векторному просторі.

Визначення 1. комплексне число  називають скалярним твором векторів и  лінійного над полем  простору  , Якщо воно задовольняє наступним вимогам (аксіом):

1) ,  ; 2)  ; 3)  ; 4) ; .

Слідство 1. . дійсно,

 . Що й потрібно було довести.

Слідство 2. .

дійсно, .

Що й потрібно було довести.

Слідство 3.

. (1)

Дійсно, використовуючи аксіоми і слідства 1, 2, для будь-якого  отримаємо

.

якщо  , То маємо вірне нерівність .

якщо  , То поклавши  , отримаємо

 - Знову вірне нерівність, що збігається з (1). Що й потрібно було довести.

Нерівність (1) називають нерівністю Коші-Буняковського (див. §1 глави 3).

Визначення 2.Комплексне лінійний простір зі скалярним добутком називають предгільбертовим, а речовий простір зі скалярним добутком називають евклідовим.

Приклад 1.У лінійному просторі послідовностей комплексних чисел ,  , Скалярний твір введемо по формулі

 . (2)

Якщо ряд (2) сходиться, то аксіоми скалярного твори очевидні. Переконаємося, що він сходиться. Використовуючи нерівність Коші-Буняковського, отримаємо

.

але ряди ,  сходяться за умовою, тому ряд (2) сходиться.

Приклад 2.У лінійному просторі  комплекснозначних безперервних функцій  скалярний добуток введемо по формулі  . Всі аксіоми скалярного твори виконуються.

Теорема 1.Будь-яке предгільбертово простір буде нормованим, якщо норму визначити формулою

 . (3)

Доведення.Перевіримо виконання вимог норми. Перша вимога норми - наслідок першої аксіоми скалярного твори. Однорідність норми випливає з третьої аксіоми скалярного твори і слідства 1. Дійсно,  . Що й потрібно було довести. Для доказу полуаддітівності норми скористаємося нерівністю Коші-Буняковського  . маємо  . Що й потрібно було довести.

Предгільбертово простір, в якому норма введена за формулою (3), називають унітарною. Оскільки унітарна простір є і метричних, і нормованим, то на нього переносяться всі властивості метричного нормованого просторів. При цьому

 . (4)

Відзначимо деякі властивості унітарного простору.

1. Алгебраїчні операції та скалярний твір безперервні. Дійсно, алгебри безперервні, оскільки вони безперервні в нормованому просторі (див. §3). А скалярний твір безперервно, так як неперервна метрика (див. §8 глави 3).

2. В унітарній просторі справедливо рівність паралелограма, тобто

 . (5)

Дійсно, використовуючи (3) і властивості скалярного твори, маємо

.

Що й потрібно було довести.

3. Поповнення унітарного простору саме є унітарною простором. Дійсно, нехай  - Унітарна простір, а  - Його поповнення. Тоді знайдеться клас еквівалентних послідовностей  такий, що ,  (Див. §8 глави 3). Оскільки скалярний добуток і норма безперервні в  , То продовжимо їх по безперервності в  , Тобто покладемо  . Так як ліві частини останніх рівностей рівні, то рівні й праві частини, тобто  , або  , Що і означає унітарність простору .

Визначення 3.Повний щодо метрики (4) предгільбертово простір називають Гільбертовим і позначають .

В §4 глави 3 ми переконалися, що метричний простір  повне. Оскільки в цьому просторі справедливо рівність (4), то це простір повне евклидово (гильбертово).

Наведемо ще один приклад гильбертова простору.

Приклад 3.простір  зі скалярним добутком (2) і нормою  є Гільбертовим. дійсно,

 , Тобто справедливі рівності (4). Отже, простір унітарне, а так як воно повне по метриці (див. §2), то воно гильбертово.

Приклад 4.простір  комплекснозначних функцій  зі скалярним добутком  і метрикою (4) є Гільбертовим (див. Зауваження в §4 глави 3).

Гільбертовому просторі є природним узагальненням простору геометрії Евкліда. У ньому можна ввести, наприклад, поняття перпендикулярності (ортогональности) векторів. нехай  - Предгільбертово (гильбертово) простір. елементи  називаються ортогональними, якщо  . пишуть  . якщо  ортогонален кожному елементу множини  , То його називають ортогональним безлічі  і пишуть  . Якщо всі елементи множин  попарно ортогональні, то ці множини називають ортогональними, пишуть .

система елементів  предгільбертова простору називається ортогональної, якщо будь-які два різні елементи цієї системи ортогональні. Якщо при цьому норма кожного елемента дорівнює одиниці, то систему називають ортонормованій.

Якщо в лінійному нормованому просторі  існує  незалежних векторів, а  вектор лінійно залежний, то простір  називають  -мірним, пишуть  . Якщо для будь-якого  існує  лінійно незалежних векторів, то простір  називають безкінечномірні.

Теорема 2. ортонормированном система ,  , Лінійно незалежна.

Доведення. Від противного. нехай система  лінійно залежна, тобто ,  . Помноживши цю рівність скалярно на елемент  , маємо  . Отримали протиріччя, що й доводить теорему.

Визначення 4.ортонормированном система  називається повною, якщо з рівності  слід  , Тобто її не можна поповнити шляхом приєднання нових елементів з .

Це твердження рівнозначно тому, що найменше замкнутий підпростір, що містить повну систему  , Збігається з усім простором .

Визначення 5.Повна ортонормированном система називається ортонормованим базисом простору.

Наведемо деякі приклади.

Приклад 5.В просторі  система векторів ,  - Ортонормованій базис. Дійсно, ортонормірованность очевидна, а повнота випливає з того, що будь-який елемент з  можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних векторів, .

Приклад 6.В просторі  (Див. Приклад 1) система векторів ,  - Ортонормованій базис. Ортонормірованность очевидна. Переконаємося в повноті. нехай  . очевидно,  (Див. Приклад 4). тоді  при  як залишок сходиться ряду (див. приклад 1). Таким чином, система повна, а простір  нескінченно мірне.

Приклад 7.простір  (Див. Приклад 2). Серед різних базисів цього простору найважливішим є тригонометрическая система

, .

Ортонормірованность і повнота системи доведені в курсі математичного аналізу.

Теорема 3 (про ортогоналізації). нехай  - Лінійно незалежна система елементів предгільбертова простору  . Тоді існує ортонормированном система  така, що

, ,  . (4)

Доведення.Скористаємося процесом ортогоналізації Шмідта. покладемо  . елемент  , Ортогональний елементу  , Будемо шукати у вигляді  . очевидно,  , В іншому випадку маємо .  , тобто  - Лінійно-залежні, що суперечить умові. З умови ортогональності векторів  знайдемо

.

аналогічно елемент  ортогональний елементам и  шукаємо у вигляді  . З умови ортогональності отримаємо систему .

нехай  вже знайдені. тоді  шукаємо у вигляді  . З умови ортогональності  всім попереднім  знайдемо ,  . Згідно з методом математичної індукції ми побудували систему  ортогональних векторів. Розділивши кожен вектор  на його норму, отримаємо ортонормированном систему векторів. Враховуючи що  виражаються через  , Отримаємо (4). Теорема доведена.

Теорема 4.У всякому сепарабельном предгільбертовом просторі  існує ортонормованій базис з кінцевого або рахункового числа елементів.

Доведення.нехай  - Рахункова усюди щільне безліч простору  . Виберемо з нього повну лінійно незалежну систему функцій  . Для цього досить з системи  викинути ті елементи  , Які можна представити у вигляді лінійної комбінації деяких попередніх елементів. Частину, що залишилася лінійно незалежну систему відповідно до теореми 3 ортонорміруем. В результаті отримаємо базис. Що й потрібно було довести.

 Напівнорма і локально опуклі топологічні простори |  Завдання про найкраще наближення. ортогональное доповнення


 Поняття топологічного векторного простору |  Нормовані і топологічні нормовані простору |  Ряди Фур'є в гільбертовому просторі |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати