На головну

Рішення.

  1.  Гармонійні коливання: рівняння гармонійних коливань і його рішення. Амплітуда, період і частота коливань. Математичний і фізичний маятники.
  2.  Гармонійний осцилятор. Вимушені коливання, диференціальне рівняння вимушених коливань і його рішення. Резонанс.
  3.  Диференціальне хвильове рівняння і його рішення.
  4.  Диференціальне рівняння вимушених коливань і його рішення. Амплітуда і фаза вимушених коливань.
  5.  Диференціальне рівняння затухаючих коливань і його рішення. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його рішення.
  6.  Завдання С2 Рішення.
  7.  Заочне провадження і заочне рішення.

а) ;

б) кут В в трикутнику АВС є кут між векторами и  . маємо , , , ,

;

в) , , ,

,

звідси знаходимо

;

г) .

Напрямними косинусами вектора  є 2/3, -2/3, -1/3.

векторним твором  впорядкованої пари неколінеарних векторів а и b називається вектор c, Що задовольняє наступним трьом вимогам:

1)  , Де j - кут між векторами а и b;

с перпендикулярний кожному з векторів а и b;

а, b, з утворюють праву трійку.

Векторний добуток прийнято також позначати .

Теорема 5. a)  дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах а и b; б) а ?b = - b ? a; в) а '(b + c) = а ? b + + а ? c; г) (l а) ' b = L (а ? b).

теорема 6. якщо ,  , то ,

або, в символічному записі,

.

Змішаним твором впорядкованої трійки векторів а, b, с називається число (a? b) с; мішаний добуток векторів а, b, з позначається (а, b, з).

Теорема 7.а) а, b, з компланарність в тому і тільки в тому випадку, якщо (а, b, з) = 0;

б) для некомпланарних трійки векторів а, b, з (а, b, з)> 0 в тому і тільки в тому випадку, якщо а, b, з утворюють праву трійку, і (а, b, з) <0 в тому і тільки в тому випадку, якщо а, b, з утворюють ліву трійку;

в) | (а, b, з) | дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, з;

г) (а, b, з) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, з) = - (а, c, b) = - (c, b, a).

Теорема 8. якщо , ,  , то

.

Приклад 3. Дано точки A (4; -1; 3), B (0; 1; 2), C (3; -2; 5), D (1; -1; 1). Знайти: а) площа трикутника АВС; б) висоту  трикутника АВС, опущену з вершини А на сторону ВС;

в) обсяг піраміди АВСD.

Рішення. а) Площа  трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма S, побудованого на векторах и  , Т. Е.  . маємо , ,

;

б) ; , ; .

в) Обсяг  піраміди АВСD дорівнює  обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах  . маємо , , ;

.

2. Пряма на площині

Пряма на площині, в якій визначена прямокутна система координат, може бути задана наступними рівняннями:

Ax + By + C = 0 - загальне рівняння;

y = kx + b - рівняння з кутовим коефіцієнтом (k - кутовий коефіцієнт - є тангенс кута нахилу прямої до осі 0x);

 - Канонічне рівняння (пряма проходить через точку M (x0; y0) Паралельно вектору  - Направляючої вектору прямий);

A (x - x0) + B (y - y0) = 0 - рівняння прямої, що проходить через точку M (x0; y0) Перпендикулярно вектору  - Нормалі прямої;

 - Рівняння прямої, що проходить через точки
M1(x1; y1), M2(x2; y2).

Рівняння прямої, паралельної осі Oy і проходить через точку
 (A; 0), має вигляд x = a.

приклад 4. Скласти рівняння прямих: а) AB; б) BC; в) CD.

Рішення. а) АВ паралельна 0y, тому її рівнянням буде x = 1.

б) Складемо рівняння ВС як прямої, що проходить через точки B (1; 3), C (5; 1):

- 2x + 2 = 4y - 12; .

в) Пряма СD паралельна 0x, тому рівнянням СD є y = 1.

3. Полярна система координат

 Полярна система координат визначається завданням точки 0, званої полюсом, що виходить з цієї точки променя 0А, званого полярною віссю, і масштабу для вимірювання довжини.

Кожній точці М на площині ставляться у відповідність два числа:  - Полярний радіус і j - полярний кут, на який потрібно повернути полярну вісь для суміщення з вектором  ; при цьому обертання проти годинникової стрілки вважається позитивним, за годинниковою стрілкою - від'ємним. Якщо точка М збігається з полюсом 0, то полярний кут не визначений.

Полярний кут j визначається з точністю до  . Прийнято домовлятися про головних значеннях полярного кута; зазвичай такими вважаються кути в межах  або .

Розглянемо декартову прямокутну систему координат на площині, започаткована ще збігаються з полюсом 0, а позитивна

 піввісь 0x - з полярною віссю (в цьому випадку говорять, що декартова прямокутна система координат узгоджена з полярної системою координат). Тоді декартові прямокутні (x; y) і полярні (r; j) координати точки М пов'язані співвідношеннями

Це є формули переходу від полярних координат до декартових.

Приклад 5. Знайти полярні координати точки М, якщо в узгодженої декартовій прямокутній системі координат вона має координати x = -2, .

Рішення. ;

.

Приклад 6. Скласти полярні рівняння:

а) прямий y = -2x + 3; б) параболи y = 2x2.

Рішення. Маємо x = r cosj, y = r sinj. Тому

а) r sinj = -2 r cosj + 3;  - Рівняння прямої

y = -2x + 3.

б) r sinj = 2 r2 cos2j,  - Рівняння параболи y = 2x2 .

4. Площина і пряма в просторі

Площина (P) в просторі із заданою декартовій прямокутній системою координат може бути задана одним з наступних рівнянь:

Ax + By + Cz + D = 0 - загальне рівняння площини;

A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0 - рівняння площини (P), що проходить через точку M (x0; y0; z0) І перпендикулярній вектору  - Вектору нормалі до (P) (вектором нормалі до площини (P) називається будь-який ненульовий вектор, перпендикулярний (P));

 - Рівняння площини у відрізках, де a, b, c -спрямованості відрізки, що відсікаються площиною на осях 0x, 0y, і 0z відповідно;

4)  - Нормоване (або нормальне) рівняння площини (P), де cosa, cosb, cosg - напрямні косинуси вектора нормалі n до (P), спрямованого з початку координат в сторону площині (P), r - відстань від початку координат до площини (P);

5)  - Рівняння площини,

що проходить через три точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3), Що не лежать на одній прямій.

Відстань від точки M0(x0; y0; z0) До площини (P), заданої загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, знаходиться за формулою

.

Дві різні площини (P1):  і (P2):  паралельні в тому і тільки в тому випадку, якщо .

Кут j між площинами (P1):  і (P2):  є кут між нормалями и  (З поправкою на напрямок, якщо кут тупий) до цих площинах:

.

Ці площини: а) паралельні в тому і тільки в тому випадку, якщо и  колінеарні; б) перпендикулярні в тому і тільки в тому випадку, якщо .

Пряма (L) в просторі із заданою прямокутною системою координат може бути задана:

1) канонічними рівняннями  ; при цьому (L) проходить через точку M0(x0; y0; z0) І паралельна направляючої вектору прямий ;

2) параметричними рівняннями

,

задані числа x0, y0, z0, l, M, n мають таке ж значення, що і в канонічних рівняннях;

3) загальним рівнянням

де ранг матриці  дорівнює 2, при цьому (L) є пряма перетину площин

(P1):  , (P2): .

Кут j між прямими (L1) І (L2) Є кут між напрямними векторами и  (З поправкою на напрямок, якщо кут між ними тупий):

.

Кут y між прямою (L):  і площиною (P):  визначається за формулою

.

приклад 7. Дано площину (P): -2x + y + 3z - 1 = 0, пряма (L):  і точка M (-4; 1; 7): а) скласти рівняння площини, що проходить через точку М і паралельної (P); б) скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М і паралельної (L); в) скласти рівняння площини, що проходить через точку М і перпендикулярній (L); г) скласти рівняння прямої, що проходить через точку М і перпендикулярній (P ?);

д) скласти рівняння площини, що проходить через точку М і пряму (L); е) скласти рівняння площини, що проходить через точку М і перпендикулярній площинах (P ?): x - 3y - z + 2 = 0 і

(P ??: 4x + 2y - 5z + 7 = 0; ж) знайти точку перетину прямої (L) і площині (P); з) знайти відстань від точки М до площини (P).

Рішення.а) Як вектора нормалі до шуканої площини (P1) можна взяти n {-2; 1; 3} - нормаль до (P). Тому рівнянням (P1) Буде -2 (x + 4) + 1 (y - 1) +3 (z - 7) = 0, або -2x + y + 3z - 30 = 0.

б) У якості направляючого вектора шуканої прямої (L1) можна взяти q {4; -6; 1} - направляючий вектор (L). Тоді рівняннями (L1) будуть .

в) Як вектора нормалі до шуканої площини (P2) можна взяти q {4; -6; 1} - направляючий вектор (L); і рівнянням (P2) Буде 4 (x + 4) - 6 (y - 1) + 1 (z - 7) = 0 або 4x - 6y + z + 15 = 0.

г) спрямовує вектор шуканої прямої (L2) можна взяти

n {-2; 1; 3} - нормаль до (P). Звідси отримуємо рівняння (L2):

.

д) Запишемо рівняння (L) в параметричної формі:

,

Надавши t два різних значення, скажімо, t = 0 і t = 1, знайдемо дві точки прямої (L):

M1(5; -2; -1),

M2(9; -8; 0).

Точки M, M1, І M2 лежать в шуканої площини (P3). Складемо рівняння (P3) Як рівняння площини, що проходить через ці три точки:

- 51 (x + 4) - 41 (y - 1) - 42 (z - 7) = 0;

- 51x - 41y - 42z + 131 = 0.

Це і є рівняння (P3).

е) Як вектора нормалі до шуканої площини (P4) Можна взяти векторний добуток  на  - Нормалей до площини (P ') і (P "):

.

Знаючи точку M (-4; 1; 7), через яку проходить площину (P4), І вектор нормалі  , Складаємо рівняння (P4):

17 (x + 4) + 1 (y - 1) + 14 (z - 7) = 0;

17x + y + 14z - 31 = 0.

ж) Запишемо ще раз рівняння (L) в параметричної формі:

 , (1)

Підставами ці вирази в рівняння площини (P):

-2 (4t + 5) + (-6t - 2) + 3 (t - 1) - 1 = 0;

-11t = 16; .

Підставивши знайдене t в (1), знаходимо координати шуканої точки:

,

Таким чином, точкою перетину (L) і (P) є .

з) .

Приклад 8. Скласти канонічні рівняння прямої (L), заданої у вигляді

 (2)

Рішення.Пряма (L) задана як перетин площин

(P1): - 3x + 2y - z + 1 = 0 і (P2): X - 5y + 6z + 21 = 0. Вектори нормалей ,  перпендикулярні до (L). Тому в якості направляючого вектора q прямий (L) можна взяти векторний добуток :

= .

Для складання канонічних рівнянь прямої досить знати її направляючий вектор і точку, через яку проходить пряма. Знайдемо деяку точку (L). визначник  відмінний від нуля. Перепишемо систему (2) у вигляді

Покладемо z = 0 (можна було взяти будь-яке інше), отримаємо систему

Ця система має рішення x = 47/13, y = 64/13. Згадавши, що z = 0, знаходимо точку прямої (L): M (47/13; 64/13; 0). Складемо рівняння прямої (L) по її направляючої вектору 'q {7; 17; 13} і точці M (47/13; 64/13; 0), через яку вона проходить:

5. Криві другого порядку на площині

еліпсом називається геометричне місце всіх таких точок на площині, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок площині F1 і F2, Званих фокусами, є величина постійна.

гіперболою називається геометричне місце всіх таких точок на площині, для яких різниця відстаней до двох фіксованих точок площині F1 і F2, Званих фокусами, є величина постійна.

параболою називається геометричне місце всіх таких точок на площині, для кожної з яких відстань до деякої фіксованої точки F, званої фокусом, дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, званої директоркою.

Для кожної з цих кривих існує така декартова прямокутна система координат, що крива описується канонічним рівнянням

 для еліпса,

 для гіперболи,

 для параболи.

 
 

 Еліпс, заданий рівнянням в канонічній формі, має центр симетрії - точку 0, дві осі симетрії - координатні осі 0x і 0y, укладений в прямокутнику -a ? x ? a, -b ? y ? b і стосується його сторін.

Гіпербола, задана рівнянням в канонічній формі, має центр симетрії - точку 0, дві осі симетрії - координатні осі 0x і 0y, має дві асимптоти - прямі и .

Парабола, задана рівнянням в канонічній формі, має одну вісь симетрії - вісь 0x.

Алгебраїчної кривої другого порядку називається крива, яка в декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням

 . (3)

Якщо крива, що задається рівнянням (3), не є вироджених, то вона є або еліпсом, або гіперболою, або параболою (до виродженим відносяться: порожня множина, точка, пара точок, пряма, пара прямих).

приклад 9. Дано рівняння кривої в полярній системі координат:  : А) зобразити криву по точкам, надаючи j значення з проміжку  з кроком p / 8;

б) скласти рівняння цієї кривої в декартовій прямокутній системі координат, узгодженої з полярної, і визначити вид цієї кривої.

Рішення. а) Складемо таблицю значень функції.

j  p / 8  p / 4  3p / 8  p / 2  5p / 8  3p / 4  7p / 8
r  2,8  2,32  1,72  1,5  1,26  1,11  1,02
j p  9p / 8  5p / 8  11p / 8  3p / 2  13p / 8  7p / 4  15p / 8
r  1,02  1,11  1,26  1,5  1,72  2,32  2,8

За цими даними відзначимо точки на площині і, плавно поєднуючи сусідні точки, побудуємо лінію.


б) Перейдемо до декартової прямокутній системі координат, користуючись формулами , , :

; ; ; ;

4 (x2 + y2) = X2 + 6x + 9; 3x2 - 6x + 4y2 = 9;

3 (x2 - 2x + 1 - 1) + 4y2 = 9; 3 (x - 1)2 + 4y2 = 12; .

Це рівняння еліпса з центром в точці (1; 0) і півосями

a = 2, .

завдання 4.1

Доведіть, що вектори  утворюють базис. Знайдіть розкладання вектора 'a в цьому базисі.

 {3; -2; 1}  {1; 1; -4}  {-2; 3; 1}  {-1; -1; 3}
 {2; 1; -1}  {-3; -2; 1}  {4; 2; -3}  {-2; -2; 4}
 {-1; -2; 3}  {2; 0; -4}  {3; -2; 1}  {5; -1; -2}
 {-4; -1; 1}  {3; -2; -1}  {2; -5; 3}  {-2; 1; 0}
 {-3; 1; -2}  {4; -2; -1}  {1; -1; 2}  {3; 1; -4}
 {2; -1; 2}  {3; 1; -4}  {4; 3; -1}  {0; 2; -3}
 {1; -3; 2}  {2; 0; -1}  {0; 6; 1}  {-5; 2; -1}
 {-2; -2; 1}  {3; 1; -2}  {1; -1; 3}  {4; -2; 1}
 {1; -2; 4}  {-2; -3; 1}  {1; 5; -2}  {3; 0; 2}
 {4; 1; -1}  {-3; 1; -1}  {1; 3; -4}  {-2; 1; -1}
 {-2; 0; 5}  {3; -1; 2}  {1; -1; 1}  {2; -4; 3}
 {-5; 1; -1}  {-2; -2; 3}  {-1; 5; 1}  {0; -1; 2}
 {2; -4; 5}  {3; 1; -3}  {-1; -5; 0}  {2; 3; -5}
 {-4; -2; 1}  {0; 2; -1}  {3; -2; -2}  {5; -1; 1}
 {-3; -3; 2}  {2; -1; 4}  {-1; -4; 1}  {2; -3; -2}
 {-1; 5; 1}  {3; -2; 0}  {2; 3; 3}  {-4; -1; 1}
 {2; -3; -2}  {-1; -1; 4}  {-1; -6; 1}  {-2; -3; 1}
 {-1; -1; 5}  {2; -1; -3}  {1; -2; -1}  {3; -1; 1}
 {0; 2; -1}  {3; -1; -3}  {3; 1; -2}  {1; -4; -1}
 {-5; 1; -1}  {2; 1; -3}  {-3; 2; 1}  {4; 2; -3}
 {2; -3; 2}  {1; -4; -1}  {1; 3; -2}  {1; 0; -5}
 {4; -1; 5}  {-2; 3; 1}  {2; 2; -1}  {3; 1; -1}
 {-2; 1; 5}  {3; -3; 1}  {1; -2; 2}  {3; 1; 0}
 {-1; 1; 6}  {2; -3; -1}  {1; 2; -1}  {-4; -1; -2}
 {3; -1; 5}  {2; -2; -1}  {4; 0; -1}  {-3; -2; 1}
 {2; 2; -5}  {-1; 2; -1}  {3; 6; -1}  {2; -4; 1}
 {-3; -1; 2}  {2; -4; 0}  {4; -1; 1}  {-5; 1; -1}
 {1; -5; 2}  {-2; 1; 1}  {3; -6; -3}  {1; -1; 7}
 {-4; 1; 4}  {2; -1; 3}  {0; -1; 2}  {1; -3; 4}
 {2; -5; 2}  {-1; 3; 0}  {1; -2; 3}  {4; -4; 3}

завдання 4.2

Дано точки A, B, C, D. Знайдіть: а) довжину відрізка AB;
 б) косинус кута B в трикутнику ABC; в) ;

г)  і напрямні косинуси вектора  ; д) площа трикутника ABC; е) висоту h трикутника ABC, опущену з вершини C на сторону AB; ж) обсяг піраміди ABCD.

A B C D a b
 (-3; 2; -1)  (1; -1; 4)  (2; 0; 1)  (1; -3; 5)  -1
 (1; -2; 1)  (3; 0; 2)  (-4; 2; -1)  (-1; -1; 3)  -2
 (-4; -1; 1)  (-2; 0; -1)  (-1; -2; 3)  (1; -3; -1)  -2
 (2; 0; -3)  (1; -1; 2)  (3; 1; -1)  (-2; -1; -1)  -2
 (-1; -1; 1)  (2; -2; 0)  (3; 1; -4)  (-2; 1; 3)  -1
 (-2; 2; 1)  (3; 0; -1)  (2; 1; -4)  (3; 2; -2)  -2  -3
 (1; -1; -1)  (2; -1; 0)  (4; 1; -2)  (3; 0; 1)
 (4; 1; -1)  (-2; -1; 1)  (0; 2; -1)  (3; 1; -2)  -3
 (0; -2; -1)  (3; 1; -2)  (4; 2; 1)  (1; -1; 4)
 (1; 3; -3)  (2; 1; 0)  (-1; 2; -1)  (3; 2; 1)  -2  -1
 (-2; 1; 1)  (1; -1; 0)  (2; 3; -1)  (-1; -2; 1)
 (-3; 1; 2)  (-2; 3; 1)  (-1; 4; 1)  (1; 0; 3)  -1  -3
 (2; 1; -5)  (3; 0; -2)  (1; -1; 0)  (-1; 2; -4)  -3
 (0; -1; 4)  (2; -2; 5)  (4; 1; 0)  (-2; 2; 3)  -2
 (3; -2; 1)  (5; -3; 4)  (2; 1; 1)  (-1; 2; 3)  -3
 (-3; 5; -1)  (-2; 3; 2)  (0; 1; -2)  (-1; 1-1)
 (2; -1; -4)  (-1; -1; -2)  (1; 0; 1)  (3; 1; 2)  -3
 (3, 5, 2)  (0; 4; 1)  (2; -1; -1)  (4; 2; -3)  -2
 (-4; -1; 2)  (-2; 0; 5)  (-1; 1; 3)  (-3; 4; 7)
 (6; -1; 1)  (4; 0; 5)  (3; -2; 1)  (1; -4; 4)  -2
A B C D a b
 (5; 2; -3)  (1; 3; -1)  (2; 4; -5)  (4; -1; 1)  -5
 (-1; -1; 7)  (1; -3; 5)  (2; -4; 3)  (3; 1; -1)  -4
 (2; -7; -5)  (1; -4; -6)  (-1; -8; -3)  (5; -4; -2)  -3
 (-3; 2; 8)  (1; 1; 5)  (-1; 3; 3)  (0; 4; 1)
 (6; -1; -1)  (4; -2; 0)  (7, 0, 1)  (2; -3; 2)  -2  -5
 (-5; 2; -4)  (-3; 1; -6)  (0; -1; -1)  (-1; -2; 2)
 (4; -2; -3)  (2; 1; -2)  (-1; 0; -1)  (3; 2; -4)
 (-1; -1; 4)  (2; 1; 3)  (-3; 2; 1)  (0; 1; -1)  -3
 (-5; -3; 1)  (-6; -2; 2)  (-1; -4; 1)  (-4; 1; -1)
 (-6; -2; 1)  (-8; 0; 1)  (-4; -3; 2)  (-5; 3; -1)

завдання 4.3

Складіть рівняння прямих AB, BC, CD.

завдання 4.4

дано площині

, , ;

пряма  ; крапка :

а) складіть рівняння площини, що проходить через точку М, і паралельній площині (П); б) складіть рівняння прямої, що проходить через точку М, і паралельної прямий (L);

в) складіть рівняння площини, що проходить через точку М, і перпендикулярній прямій (L); г) складіть рівняння прямої, що проходить через точку М, і перпендикулярній (П);

д) складіть рівняння площини, що проходить через точку М і пряму (L); е) знайдіть точку перетину прямої (L) і площині (П);

ж) складіть рівняння площини, що проходить через точку М, і перпендикулярній площинах (  ) І (  );

з) складіть канонічні рівняння прямої

і) знайдіть відстань від точки М до площини (П).

 (A; B; C; D)  (A '; B'; C '; D')  (A "; B"; C "; D")  (x0; y0; z0)  (L; m; n)  (x'; y'; z')
 (-5; 2; -1; 3)  (2; 1; -1; 4)  (-3; -1; 0; 1)  (2; -2; 3)  (1; 5; -4)  (2; -1; -3)
 (1; 3; 4; 1)  (-3; -1; 2; 6)  (2; 5; -1; -4)  (-1; -4; 2)  (2; -1; 3)  (-2; 1; 1)
 (-2; 2; 3; 7)  (1; -1; 3; 4)  (-1; -2; 3; 5)  (2; 7; -9)  (3; -2; -1)  (3; -1; 1)
 (-1; 5; -3; 8)  (2; 7; -1; 3)  (-2; 1; -1; 6)  (-9; -6; 1)  (-4; -2; -5)  (2; 1; -1)
 (4; -2; 1; 3)  (-1; -3; 5; 0)  (3; 2; -1; 9)  (3; 5; -7)  (2; 1; -4)  (3; -1; 1)
 (1; -3; 0; 5)  (-2; 6; 1; -7)  (2; 4; -3; -8)  (7; -7; 5)  (3; -3; 2)  (-1; -2; -3)
 (3; -2; 1; -5)  (1; -1; -4; 6)  (-6; 2; 1; 7)  (3; 0; 1)  (2; -3; 0)  (4; 1; 1)
 (-4; 1; -3; -6)  (0; 2; 1; -8)  (3; 5; -1; 1)  (7; -9; -6)  (5; -2; 1)  (-3; -2; 1)
 (0; 3; -2; 3)  (-4; -1; 2; 7)  (1; 3; -5; 6)  (3; -3; 4)  (-1; 3; 7)  (2; -2; 1)
 (2; -3; 1; 5)  (-1; -1; 3; 4)  (-4; 1; -1; 5)  (4; 9; -9)  (2; 7; 3)  (1; -2; -2)
 (-1; -5; 3; 0)  (1; 2; -1; 4)  (-3; -1; 1; 8)  (5; -3; -2)  (2; -1; -4)  (-5; -2; -3)
 (6; -2; -1; 3)  (-2; 1; -3; 5)  (-1; 3; 4; 1)  (6; 2; -1)  (5; -1; 2)  (1; -1; 4)
 (4; -3; 1; 2)  (0; 3; -2; 6)  (2; 1; -1; 3)  (-3; -5; 1)  (0; 2; -1)  (1; -1; 3)
 (-3; 0; 2; -6)  (1; -2; 4; -5)  (-2; 3; 1; 3)  (2; -8; 5)  (1; -2; -3)  (-1; 1; -2)
 (-4; -3; 1; 9)  (2; -2; 5; 1)  (1; 3; -1; 4)  (3; -2; -4)  (1; 2; -3)  (-1; -2; 3)
 (-2; 5; -1; 2)  (-3; 1; 3; 4)  (1; -2; -1; 6)  (-4; -2; 3)  (2; -1; 6)  (2; 1; -1)
 (4; 1; -1; 5)  (3; -3; 1; 1)  (2; 0; 1; -4)  (7; -5; 2)  (3; -4; 1)  (-1; 2; 0)
 (5; 1; -1; 8)  (-2; 1; -3; 4)  (3; -1; 2; 9)  (5; 2; -4)  (-1; 2; -1)  (1; 2; 3)
 (1; -2; 4; 3)  (3; -1; 0; 6)  (-2; -1; 3; 4)  (2; -7; 9)  (2; -1; 2)  (1; 3; -1)
 (3; -2; -1; 7)  (2; 1; 3; -8)  (1; -3; -3; 5)  (6; -1; 8)  (-2; 0; 1)  (-1; 2; 1)
 (2; 2; 5; -1)  (1; -1; 4; 7)  (0; 2; 1; 3)  (2; 9; 3)  (1; -4; 1)  (4; -3; -1)
 (-3; 5; 1; 4)  (2; 1; -1; 3)  (4; -2; -1; 5)  (6; 8; -1)  (2; 1; -2)  (1; -1; 2)
 (0; 2; -1; 7)  (3; -4; 1; 6)  (2; 1; -3; 7)  (2; -4; -6)  (3; -4; 1)  (-4; 2; 1)
 (2; -2; 3; 1)  (4; -1; 1; 3)  (-3; 3; 2; 5)  (6; -2; 4)  (2; -1; 1)  (3; 3; 1)
 (-5; 1; -1; 3)  (2; 1; -2; 5)  (4; -1; 3; 0)  (2; -5; 4)  (1; -2; 3)  (2; -2; 3)
 (3; 4; 5; 1)  (-2; 3; 4; 6)  (2; 0; 1; 9)  (3; -4; 1)  (2; -3; 2)  (-1; -1; -2)
 (4; 3; -1; 8)  (-3; 1; 2; 5)  (1; -1; 5; 4)  (4; -2; 1)  (-3; 1; 3)  (2; 1; -5)
 (A; B; C; D)  (A '; B'; C '; D')  (A "; B"; C "; D")  (x0; y0; z0)  (L; m; n)  (x'; y'; z')
 (1; -4; 1; 5)  (2; 1; 4; -6)  (3; -3; 2; 1)  (5; 0; 2)  (-1; 2; -4)  (-3; -2; 1)
 (2; 1; -3; 4)  (-5; 2; 3; 4)  (1; -1; 3; -2)  (-8; 1; 3)  (-1; 3; 2)  (4; -2; 1)
 (5; -2; 1; 3)  (2; 1; -1; 3)  (-4; 2; 3; 1)  (3; -2; 7)  (1; -2; -4)  (-1; -2; 4)

завдання 4.5

Крива в полярній системі координат задана рівнянням  . а) покажіть криву по точкам, надаючи j значення з проміжку  з кроком p / 8; б) складіть рівняння цієї кривої в декартовій прямокутній системі координат, узгодженої з полярної, і визначте тип цієї кривої.

1)  ; 11)  ; 21) ;

2)  ; 12)  ; 22) ;

3)  ; 13)  ; 23) ;

4)  ; 14)  ; 24) ;

5)  ; 15)  ; 25) ;

6)  ; 16)  ; 26) ;

7)  ; 17)  ; 27) ;

8)  ; 18)  ; 28) ;

9)  ; 19)  ; 29) ;

10)  ; 20)  ; 30) .



 ЗАХОДИ БЕЗПЕКИ |  Загальна характеристика відів та методів випробування техніки на Надійність
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати