Головна |
15.1.Визначення. Нехай на вимірному просторі задані дві ймовірні заходи , i = 1,2. Будемо говорити, що міра абсолютно неперервна відносно заходи і позначати , Якщо з того, що випливає, що .
З цього визначення випливає: якщо , то
. Очевидно, що достатня умова є наступне: для .
З теореми Радону - Никодима слід, що якщо , То існує F - Вимірна функція така, що , Яку називають похідною Радону - Никодима і позначають .
Скрізь нижче інтеграл по мірі будемо позначати через .
Нехай є вимірне простір з фільтрацією , На якому задані дві ймовірні заходи , i = 1,2. через позначимо звуження заходи на , Т. Е. . нехай ,тоді існує в силу теореми Радону - Никодима - процес званий локальної щільністю .
Теорема 48. нехай - Локальна щільність. тоді ненегативний мартингал щодо заходів , причому для .
Доведення. нехай и . В силу умов теореми тому . Так як , то . значить
.
Звідси в силу довільності отримуємо, що - П. Н. Для завершення докази залишилося помітити, що при для .
15.3.Розглянемо опціональний випадковий процес , Визна-ленний на стохастичною базисі зі значеннями в і для Р - П. Н. допускає подання
, (17)
де опціональний випадковий процес з кусочно-постійними траєкторіями і невипадковою матрицею інтенсивності переходу , причому ; : - Передбачувана випадкова функція така, що
Р - П. Н. для .
Спочатку зауважимо, що - Передбачуваний процес, так як
- Опціональний. З властивостей інтеграла, що стоять в правій частині (17) слід
. (18)
нехай - Послідовність марковских моментів, вичерпна скачки процесу , Ясно, що: а) ; б) на безлічі ; в) . Тоді остання рівність (18) можна записати у вигляді
. (18а)
Звідси випливає, що в момент часу відбувається скачок у процесу і його величина визначається за формулою . Тому Р - П. Н.
. (19)
нехай , З (18) випливає, що Р - П. Н.
.
Очевидно, що
.
Далі в силу (18), маємо
.
Марковские моменти. | Класифікація потоків s-алгебр. | Процеси з обмеженою варіацією. | Точкові випадкові процеси. Формула Іто для вважають процесів. Компенсатори. | Інтегрування випадкових процесів по мартингали, які мають обмежену варіацію. | Властивості компенсаторів точкових процесів. Випадкова заміна часу. | Матриця інтенсивності переходу. Рівняння Колмогорова. | Можливість розв'язання системи рівнянь Колмогорова для процесів з кінцевим або рахунковим числом станів. | Розподіл усіх уявлення інтенсивності. | Випадкові заходи. |