Головна

показова функція

  1.  II. Статечна функція збуту
  2.  U - функція деякої змінної x
  3.  А. Функція заощаджень
  4.  Алгебра, висловлювання, предикати, булевих функцій, аксіоми алгебри предикатів
  5.  Аналіз як функція управління маркетингом, його прикладне значення.
  6.  аналітична функція
  7.  Арифметичні операції над функціями, які мають межу

визначення 1. Функція виду  називається показовою функцією.

згідно §13  . оскільки при а = 1 маємо  , Тобто функція постійна, будемо припускати надалі, що .

теорема 1. Якщо  , То функція  строго зростає, якщо  , то  строго убуває.

Доведення. нехай  - Довільні дійсні числа, ,  - Раціональні числа. нехай  . В силу посиленою щільності безлічі R знайдемо оптимальні числа  . Починаючи з деякого  (Лема 2) і  , аналогічно  , тому  , Тобто  строго зростає.

якщо  , то  , тому  , Тобто  строго убуває. Теорема доведена.

слідство. Показова функція не має точок екстремуму.

теорема 2. Функція ,  , Усюди неперервна.

Доведення. нехай  - Довільна точка,  - довільна

послідовність точок. між числами и , и  візьмемо раціональні числа и , n = 1, 2, ... відповідно (це можна зробити в силу посиленою щільності безлічі R). тоді и  . Тому за формулою (13.4)  . Оскільки за теоремою 1 при  , А при  , То по теоремі про проміжної змінної  . В силу довільності послідовності  , Сходящейся до  , функція  неперервна в точці  по Гейне. Теорема доведена.

слідство. крива  вертикальних асимптот немає.

теорема 3. Якщо  , то

1)  ; 2)  ; 3) .

Доведення. оскільки  , Можна записати  , де  . Тоді за нерівністю Бернуллі  . яке б  ні взяти, знайдеться  таке, що при  виконується нерівність  (Достатньо взяти  ). оскільки  - Зростаюча функція, то при  маємо  , А це і означає, що  , Тобто 1) доведено.

Доведемо 2). маємо .

3) випливає з 2) і суворого зростання функції  при  . Теорема доведена.

наслідки. 1) Якщо  , то , , .

Для доказу досить розглянути  . тоді , .

2) З 2) випливає, що  - Горизонтальна асимптота при  для  і при  для  . Похилих асимптот немає, так як  при ,  при и  . Аналогічні міркування проводяться і для .

3) область значень показовою функції - безліч  Це випливає з теорем 3, 2 і 2-ий теореми Больцано-Коші.

оскільки  , То крива опукла вниз на  , Точок перегину немає.

Графік функції  має вигляд:

у ,

,

Про х



 Визначення та властивості ступеня |  логарифмічна функція

 Умови сталості, зростання і спадання функції |  Найбільше і найменше значення функції на відрізку |  Опуклі криві. Точки перегину кривої |  асимптоти кривої |  Повне дослідження функцій і побудова їх графіків |  статечна функція |  тригонометричні функції |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати