Головна

Визначення та властивості ступеня

  1.  I.1. Образотворчі властивості фронтальної проекції двох-пірамідної системи Хеопса-Голоду
  2.  I.5. Образотворчі властивості двухкартінного комплексного креслення двухпірамідной системи Хеопса-Голоду
  3.  II. Системи збудження СД і їх основні властивості
  4.  III Етап. Визначення функцій і завдань елементів системи якості
  5.  O визначення товарів, найбільш нужденних у рекламі;
  6.  P-n перехід, його властивості, види пробоїв
  7.  Pn-перехід і його властивості.

визначення 1. ступенем числа а з натуральним показником  називається твір n множників, кожний з яких дорівнює а:

 . (13.1)

ступенем числа а з показником 1 називається саме число а:

 . (13.2)

Зауважимо, що у визначенні 1 а - Будь-яке дійсне число. Рівностями (13.1) і (13.2) ступінь  визначена на безлічі N натуральних чисел.

Чи справедливі дві основні властивості ступеня:

,

тобто при множенні ступенів з підставами показники складаються, при зведенні ступеня в ступінь показники перемножуються.

далі ступінь  визначається на множині всіх цілих чисел.

визначення 2. Якщо  , то N.

Перевірка двох основних властивостей ступеня проводиться без праці. наприклад,

.

Щоб визначити ступінь  на безлічі раціональних чисел, спочатку визначимо арифметичний корінь n-го ступеня.

визначення 3. Арифметичним коренем n-го ступеняз невід'ємного числа а називається невід'ємне число, n-я ступінь якого дорівнює а. позначається .

Доведемо, що таке число існує і єдино. Для цього розглянемо функцію  . Ця функція неперервна і зростає на  , так як  , причому  . Крім того,  . Тому за теоремою існування і безперервності зворотного функції на проміжку  існує, зростає і неперервна зворотна функція  . Звідси випливає, що рівняння  має єдиний ненегативний корінь .

визначення 4. Якщо  , то .

Цим рівністю ступінь  визначена на безлічі Q раціональних чисел. Основні характеристики ступеня справедливі і на цій множині. Наприклад, справедливість рівності  випливає з того, що при зведенні обох частин цієї рівності в ступінь nq отримуємо: ,  , Тобто однакові вирази.

Визначимо далі ступінь  на безлічі R всіх дійсних чисел. Для цього встановимо спочатку кілька допоміжних тверджень.

Лемма 1. Для будь-якого ірраціонального числа  існує зростаюча послідовність раціональних чисел  , Що сходиться до .

Доведення. Розглянемо послідовність чисел  . В силу властивості посиленою щільності безлічі R дійсних чисел між числами и  знайдеться раціональне число  , тобто  . Очевидно, що послідовність  зростаюча і сходиться до

 - - - - - - - - -

 по теоремі про проміжної змінної, так як  . Лема доведена.

Лемма 2. Якщо  , То функція  зростає.

Доведення. Зауважимо, що якщо  , То і  , де n - натуральне число. Це випливає з зростання функції  (Див. Доказ існування арифметичного кореня). Тому для  маємо  . Оскільки знаменники раціональних чисел завжди можна зробити загальними, твердження доведено.

Лемма 3. Якщо  , то .

Доведення. оскільки  (Див. Доказ леми 2), покладемо  , де  . тоді  за нерівністю Бернуллі, або  . Звідси  і по теоремі про проміжної змінної  , тобто  . Лема доведена.

Лемма 4. Для будь-якій послідовності раціональних чисел  , Сходящейся до нуля, послідовність  (де  ) Сходиться до 1, тобто .

Доведення. візьмемо  довільно. Оскільки по лемі 3 ,  , То знайдеться номер  такий, що и  , звідки  . А так як  при  , То знайдеться номер  , Такий, що для  буде  , тобто  і по лемі 2  , звідки и  для  . Лема доведена.

Лемма 5. Нехай и  - Довільне ірраціональне число. Тоді для будь-якій послідовності раціональних чисел  , Сходящейся до  , послідовність  сходиться до одного і того ж межі.

Доведення. якщо  , то  , Тобто твердження справедливо.

нехай  . Розглянемо спочатку якусь неубутних послідовність раціональних чисел  , Що сходиться до  . Така послідовність існує по лемі 1. Тоді по лемі 2

 (13.3)

Візьмемо раціональне число  . тоді  і по лемі 2  для всіх n, Тобто послідовність (13.3) обмежена зверху. По теоремі про існування межі монотонної й обмеженої послідовності існує  , Який ми позначимо літерою А. При цьому  , так як  і послідовність (13.3) неубутна.

нехай тепер  - Довільна послідовність раціональних чисел, що сходиться до  . Тоді послідовність раціональних чисел  сходиться до нуля і по лемі 4  . отже,  і твердження леми справедливо.

Розглянемо тепер випадок  . покладемо  . тоді  і за вже доведеним для будь-якій послідовності раціональних чисел ,  , Існує один і той же межа  . Звідси .

Лема доведена.

визначення 5. Нехай  - Довільне ірраціональне число,  - Будь-яка послідовність раціональних чисел, що сходиться до ,  . тоді вважають

. (13.4)

Зауважимо, що формула (13.4) справедлива і в разі, коли  - Раціональне число. тоді и  . Таким чином, формула (13.4) має місце для будь-якого дійсного числа .

теорема 1. Чи справедливі рівності

 , (13.5)

 , (13.6)

де  , а х, у - Будь-які дійсні числа.

Доведення. нехай  , де и  - Послідовності раціональних чисел. Оскільки для раціональних х и у рівність (13.5) справедливо, маємо  і в межі при .

Доведемо тепер (13.6). маємо  . Переходячи до межі при  , отримаємо :

 (Безперервність зворотної функції, тобто  ) =  (Див. (13.4)) = =  (Див. (13.4)) = ,

 (Див. (13.4)) =  = (Безперервність показовою функції) =  , тому  . Теорема доведена.

Зауваження. Аналогічно можна довести, що  , де  - Будь-які дійсні числа.



 Повне дослідження функцій і побудова їх графіків |  показова функція

 Умови сталості, зростання і спадання функції |  Найбільше і найменше значення функції на відрізку |  Опуклі криві. Точки перегину кривої |  асимптоти кривої |  логарифмічна функція |  статечна функція |  тригонометричні функції |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати