Головна

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

  1.  Help імя_M-функції
  2.  MCI, Verizon і SBC. Їм розв'язали рукн щодо призначення цін. Зовсім НЕ-
  3.  ORDER BY дозволяє впорядковувати виводяться записи відповідно до значень одного або декількох обраних стовпців.
  4.  V. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Обчислення ФУНКЦІЇ ОДНОГО ПЕРЕМІННОГО
  5.  V. Структура системи сертифікації в цивільній авіації Російської Федерації і функції її учасників
  6.  А) значення 0 більше значення C3
  7.  А) значення B3 більше значення D3

визначення 1. Точка  називається точкоймаксімума (мінімуму) функції  , Якщо існує околиця  , Така, що  для всіх  . Точки максимуму і мінімуму функції називаються її точками екстремуму, А значення функції в цих точках - екстремумами функції.

Зауважимо, що точкою екстремуму функції може бути тільки внутрішня точка проміжку, в якому функція визначена, оскільки зазначені в ухвалі нерівності повинні виконуватися в деякій околиці точки .

       
 
   
 - Точки максимуму,  - Точки мінімуму функції  .
 


       
 
   
 


О х

теорема 1 (необхідна умова екстремуму). Для того щоб диференційована функція  мала в точці  екстремум, необхідне виконання умови .

Доведення. нехай  - Точка екстремуму диференційованої функції  . Тоді знайдеться околиця  точки  , в якій  буде найбільшим або найменшим значенням функції  . Тому за теоремою Ферма  . Теорема доведена.

визначення 2. Точки, в яких похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками функції.

З доведеної теореми випливає, що точками екстремуму функції можуть бути тільки стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує. Такі точки називають підозрілими на екстремум або критичними точками функції.

Зауважимо, що не всяка критична точка є точкою екстремуму. Наприклад, для функції  критичною є стаціонарна точка  , так як  існує для всіх х,  . але точка  не є точкою екстремуму цієї функції, так як функція всюди зростає.

Таким чином, нам треба знайти умови, при яких критична точка є точкою екстремуму - достатні умови екстремуму. Є два типи таких умов. Одні використовують похідну 1-го порядку, інші - похідну 2-го порядку.

Розглянемо достатня умова екстремуму, що спираються на 1-ю похідну функції.

Припустимо, що функція  неперервна в околиці  критичної точки  і в проколеної околиці  існує кінцева похідна  , Яка зберігає певний знак як зліва, так і праворуч від точки  . Тоді можливі наступні три випадки:

1)  при и  при  , тобто  при переході через точку  змінює знак з плюса на мінус. В цьому випадку, в силу теореми 3 § 8, функція  зростає в проміжку  і убуває в проміжку  , Тому значення  є найбільшим в околиці  , тобто  - Точка максимуму функції .

2)  при и  при  , тобто  при переході через точку  змінює знак з мінуса на плюс. Міркуючи як в 1-му випадку, приходимо до висновку, що  - Точка мінімуму функції .

3) При переході через точку  не змінює знака. Тоді функція або весь час зростає, або весь час зменшується, так що в точці  екстремуму немає.

Таким чином, достатня умова екстремуму полягає в наступному:

якщо похідна функції при переході через критичну точку  змінює знак, то в цій точці функція має екстремум. При зміні знака з плюса на мінус в точці  функція має максимум, з мінуса на плюс - мінімум. Якщо ж при переході через точку  похідна знака не змінює, то в цій точці екстремуму немає.

Сформулюємо правило дослідження функції на екстремум. потрібно:

1) знайти область визначення функції;

2) знайти похідну;

3) знайти критичні точки функції з області визначення, тобто точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує;

4) визначити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної з критичних точок;

5) на підставі достатньої умови екстремуму зробити висновки щодо кожної з критичних точок.

приклад 1. Знайдемо екстремуми функції .

Рішення. Область визначення ,  існує у всіх точках області визначення, , ,  , - +

0

тобто при переході через критичну точку  похідна змінює знак з мінуса на плюс, тому  - Точка мінімуму функції,  - Мінімум функції.

Достатня умова екстремуму функції, що спирається на 2-ю похідну, формулюється таким чином.

теорема 2. Нехай  і в точці  існує 2-я похідна. Тоді, якщо  , то  - Точка мінімуму функції, а якщо  , то  - Точка максимуму функції.

Доведення. нехай  . Так як  є похідна функції  , То по теоремі 4 § 8 функція  в точці  зростає, тобто поблизу точки  зліва  , А праворуч  , Тобто при переході через точку  похідна  змінює знак з мінуса на плюс. Тому за першим достатньому умові екстремуму функції точка  - Точка мінімуму функції.

якщо  , То функція  в точці  убуває, змінюючи знак з плюса на мінус, тому точка  - Точка максимуму функції. Теорема доведена.

Зауваження. Доведена теорема дозволяє досліджувати функції на екстремум тільки в стаціонарних точках, тобто в точках, в яких перша похідна дорівнює нулю. Питання залишається відкритим і в тому випадку, коли друга похідна дорівнює нулю. У цьому випадку потрібно або вивчати поведінку вищих похідних, або користуватися правилом, що спирається на першу похідну.

приклад 2. Знайдемо екстремуми функції .

Рішення. Область визначення функції ,  існує всюди в ,  - Точка максимуму, ;  - Точки мінімуму, .

Зупинимося тепер на завданню про знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку. нехай функція  неперервна на відрізку  . Тоді по 2-ий теоремі Вейерштрасса вона приймає на  і своє найбільше, і своє найменше значення. Однак в теоремі Вейерштрасса нічого не говориться про те, як шукати ці значення. Ясно, що ці значення можуть досягатися як у внутрішніх точка відрізка, так і на його кінцях. Якщо найменше (найбільше) значення функції досягається у внутрішній точці відрізка, то ця точка обов'язково буде точкою мінімуму (максимуму) функції. А точки екстремуму функції обов'язково знаходяться в критичних точках. Тому досить порівняти значення функції на кінцях відрізка і в критичних точках, які не досліджуючи ці точки на екстремум.

Таким чином, правило знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку полягає в наступному. потрібно:

1) знайти похідну даної функції;

2) знайти критичні точки, що належать даному відрізку;

3) обчислити значення функції в знайдених точках і на кінцях відрізка;

4) з усіх знайдених значень функції вибрати найбільше і найменше.

приклад 3. Знайдемо найбільше і найменше значення функції  на відрізку .

Рішення. маємо  . Із знайдених стаціонарних точок функції тільки  . Інших критичних точок немає, так як похідна визначена всюди. знаходимо , ,  . Бачимо, що , .

 



 Умови сталості, зростання і спадання функції |  Опуклі криві. Точки перегину кривої

 асимптоти кривої |  Повне дослідження функцій і побудова їх графіків |  Визначення та властивості ступеня |  показова функція |  логарифмічна функція |  статечна функція |  тригонометричні функції |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати