На головну

Поясніть відмінності між лінійним і нелінійним рівняннями коливань математичного маятника.

математичний маятник являє собою ідеальну модель, в якій матеріальна точка масою m підвішена на невагомою і нерастяжимой нитки довжиною L. У такій системі відбуваються періодичні коливання, які можна розглядати як обертання маятника навколо осі O (малюнок 1).

 
 рис.1    рис.2

Динаміка обертального руху описується диференціальним рівнянням

де ? - Кутове прискорення, M - Момент сили, що викликає обертання, I - Момент інерції тіла відносно осі обертання.

У нашому випадку момент сили визначається проекцією сили тяжіння на тангенціальне напрямок, тобто

Знак мінус означає, що при позитивному куті повороту ? (Проти годинникової стрілки) момент сил викликає обертання в протилежному напрямку.

Момент інерції маятника виражається формулою

Тоді рівняння динаміки набуває вигляду:

У разі малих коливань вважають sin ? ? ?. В результаті виникає лінійне диференціальне рівняння

де  - Кругова частота коливань.

Період малих коливань маятника описується відомою формулою

Однак при збільшенні амплітуди коливань лінійна формула перестає бути справедливою. В цьому випадку для коректного опису коливальної системи потрібно вирішувати вихідне нелінійне диференціальне рівняння.

3. Опишіть класичний приклад автоколебательной системи - генератор Ван-дер-Поля

Осцилятор Ван дер Поля - осцилятор з нелінійним загасанням.

Система Ван-дер-Поля - є «еталонної» моделлю теорії коливань і нелінійної динаміки, що описує автоколебания і найпростіший варіант біфуркації Андронова-Хопфа. При наявності зовнішнього гармонійного впливу.

Схеми генераторів Ван-дер-Поля: а - з контуром в ланцюзі анода; б - з контуром в ланцюзі сітки; в - характеристика лампи, аппроксимированная кубічним поліномом

Вимушені коливання.

Вимушені коливання осцилятора Ван дер Поля як з втратами енергії, так і без інших розраховуються за формулою

де

A - амплітуда зовнішнього гармонійного сигналу,

w - його кутова частота.

x - координата точки залежить від часу

? - якийсь коефіцієнт, що характеризує нелінійність і силу загасання коливань

У осцилятора Ван дер Поля існують два режими: при ? = 0 і при ?> 0. Очевидно, що третього режиму ? <0 - не існує, тому що тертя в системі не може бути негативним.

1) Коли ? = 0, тобто осцилятор розраховується без загасання

Це рівняння гармонічного осцилятора.

2) При ?> 0 система має якісь граничні цикли. Чим далі ? від нуля, тим хаотичнее поводиться система.

 



 Виявлення фальсифікацій. |  Дайте поняття фазового портрету динамічної системи.

 Види динамічних систем |  Розгляньте основні характеристики динамічного хаосу |  Дайте визначення бифуркационной діаграмі. На якісному рівні розгляньте біфуркаційну діаграму логістичного відображення. |  Наведіть основні етапи побудови карти динамічних режимів автоколебательной системи. |  Розгляньте на якісному рівні фазовий портрет системи Лоренца |  Опишіть динаміку системи Лоренца. |  Проаналізуйте двовимірні відображення, що зберігають площу. Наведіть приклади. |  Проаналізуйте одномірні відображення систем. Наведіть приклади. |  Розгляньте автономну систему - генератор Дмитрієва-Кислова |  Опишіть дисипативний осцилятор з інерційною нелинейностью. Намалюйте схему осцилятора. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати