На головну

Теорія подібності. види подібності

Метод узагальнених змінних становить основу теорії подібності. Одним з основних принципів теорії подібності є виділення з класу явищ (процесів), що описуються загальним законом (процеси руху рідин, дифузії, теплопровідності і т. П.), групи подібних явищ.

Подібними називаються такі явища, для яких відносини подібних і характеризують їх величин постійні.

Розрізняють такі види подібності: геометричне; тимчасове; фізичних величин; початкових і граничних умов.

Геометрична подібність дотримується при рівності відносин всіх подібних лінійних розмірів натури і моделі. Наприклад, при вивченні руху рідини в каналі довжиною L, діаметром D. У моделі подібні розміри рівні l и d. тоді

L / l = D / d = ... = соnst= kl (0)


Безрозмірна величина k (а в Дитнерскій), називається константою геометричної подоби, або масштабним (перехідним) множником. Константи подібності характеризують відношення однорідних подібних величин в подібних системах і дозволяють перейти від розмірів однієї системи (моделі) до іншої (натурі).

Тимчасове подобу припускає, що подібні частинки в геометрично подібних системах, рухаючись по геометрично подібним траєкторіям, проходять геометрично подібні шляху за проміжки часу, ставлення яких є константою подібності kх, Т. Е.

 (1)

На рис.1. зображений канал (натура) з розмірами L и D і модель з розмірами l и d. Якась частка в точці А (натура) знаходиться в момент часу ?А, В якій точці В - в момент часу ?в. У геометрично подібної моделі подібна частка знаходиться в подібній точці а в момент часу ?а, В якій точці b - в момент часу ?b.

Мал. 1. Умови подібності в натурі (a) і в моделі (б)

теорія подобу змінна узагальнений

При дотриманні геометричного і тимчасового подоби константа подібності швидкостей k? визначається з співвідношень


 (2)

Подоба фізичних величин передбачає, що для двох будь-яких подібних точок натури і моделі, розміщених подібно в просторі і в часі, співвідношення фізичних величин (?, ?і т. Д.) Є величиною постійною:

 (3)

і т.д.

Подоба початкових і граничних умов полягає в тому, що для початкових і граничних умов необхідно дотримуватися геометричне, тимчасове і фізична подібність так само, як і для інших подібних точок натури і моделі.

Розглянуті константи подібності постійні для різних подібних точок подібних систем, але можуть змінюватися в залежності від співвідношення розмірів натури і моделі, т. Е. Якщо є інша модель, подібна натурі, константи подібності будуть іншими.

Якщо подібні величини виразити в відносних одиницях, т. Е. У вигляді відносин подібних величин в межах однієї системи (натури або моделі), то отримаємо інваріанти подібності:


(4)

і т.д.

Інваріанти подібності не залежить від співвідношення розмірів натури і моделі, т. Е. Для всіх моделей, подібних натурі, вони будуть одні і ті ж. Інваріанти подібності, що представляють собою відношення однорідних величин, називаються Симплекс, або параметричними критеріями, Наприклад відношення L / D - Геометричний симплекс.

Інваріанти подібності, виражені відношенням різнорідних величин, називаються критеріями подібності. Критерії подібності позначаються початковими буквами імен вчених, які внесли великий вклад в розвиток даної галузі знань.

Критерії подібності безрозмірні, їх значення для різних точок системи можуть бути різними, але для подібних точок подібних систем вони однакові і не залежать від відносних розмірів натури і моделі.

Критерії подібності мають фізичний зміст, будучи заходами співвідношення між якимись двома ефектами, силами і т. П., Що впливають на перебіг даного процесу.

Критерії подібності можуть бути отримані для будь-якого процесу, якщо відомі рівняння, що описують цей процес.

Основні положення теорії подібності (теореми подібності)

Основні положення теорії подібності укладені в теоремах подібності, які лежать в основі практичного застосування теорії подібності.

Перша теорема подібності (теорема Ньютон-Бертрана): подібні явища характеризуються чисельно рівними критеріями подібності.

Теорема була сформульована Ньютоном. Вона встановлює, що єдиним кількісним умовою подібності процесів є рівність критеріїв подібності натури і моделі.

Звідси очевидно, що ставлення критеріїв однієї системи (натури) до критеріїв іншої подібної їй системи (моделі) завжди дорівнює 1. Наприклад,

Якщо відношення констант подібності дорівнює 1, воно носить назву індикатора подібності і вказує на рівність критеріїв подібності.

Отже, у подібних явищ індикатори подібності рівні 1.

Перша теорема подібності вказує, які величини слід вимірювати при проведенні дослідів, результати яких потрібно узагальнити: треба вимірювати ті величини, які входять в критерії подібності.

Друга теорема подібності (теорема Бекінгем-Федерман): рішення будь-якого диференціального рівняння, що зв'язує між собою змінні, що впливають на процес, може бути представлено у вигляді залежності між критеріями К подібності. Такі рівняння називаються рівняннями узагальнених змінних, або критеріальними рівняннями, наприклад

f (К1,К2, до3, ...) = 0, (5)

де К1,К2, До3 - Критерії подібності.

Зазвичай критеріальне рівняння записується в вигляді залежності визначається критерію подібності від визначальних критеріїв подібності:

К1= F (К2, до3, ...), (6)

наприклад,

К1= АКm2Кn3 (7)

де А, т, п - емпіричні показники.

Визначеним критерієм є той критерій, в який входить обумовлена ??величина. Критерії, в які входять величини, що визначають хід процесу (v, ?, ?, dэ і т. д.), називаються визначальними.

Якщо який-небудь ефект в досліджуваному процесі мало впливає на його перебіг, то критерії подібності, що характеризують інтенсивність даного ефекту, можуть не враховуватися. В цьому випадку процес по відношенню до цього ефекту і до критерію подібності стає автомодельного, Т. Е. Незалежним. Відповідно до цієї теоремою результати експерименту, проведеного на моделі, можна представляти у вигляді критеріальних рівнянь.

Третя теорема подібності (теорема Кірінчен-Гухман): явища подібні, якщо їх визначають критерії рівні.

Наслідком рівності визначальних критеріїв подібності є рівність і визначаються критеріїв для натури і моделі, тому отримана на моделі в результаті дослідів критеріальна залежність буде справедлива для всіх подібних процесів, в тому числі і для протікають в промисловій установці. При цьому слід враховувати, що отримані рівняння надійно можна використовувати тільки в тих інтервалах зміни змінних, які були використані під час проведення дослідів.

Таким чином, для дослідження технологічних процесів методом подібності необхідно:

1. вибрати диференціальне рівняння і умови однозначності, що описують даний процес; потім шляхом перетворення знайти критерії подібності;

2. дослідним шляхом за допомогою моделей встановити залежність між критеріями подібності; отримане узагальнене рівняння буде справедливим для всіх подібних процесів в межах зміни визначальних критеріїв подібності.

Перетворення диференціальних рівнянь методом теорії подібності проводиться в такому порядку:

1. кожен з членів диференціального рівняння множиться на відповідні константи подібності до?, доv, доl і т.д.;

2. отримані коефіцієнти перед членами рівняння для дотримання тотожності прирівнюються;

3. в отриманих індикаторах подібності константи подібності замінюються відповідними відносинами величин, і отримані комплекси є критеріями подібності.

У табл. 1 наведені основні критерії гідродинамічної подібності, які будуть рівні для подібних точок натури і моделі, якщо вони подібні.

Таблиця 1 - Основні критерії гідродинамічної подібності

 критерій  вираз критерію  характеристика критеріїв  Одиниці виміру входять в критерії подібності величин
 Кінематичний (критерій Рейнольдса)  Rе =?l / ? = ?l? / ?  Характеризує міру співвідношення сил інерції і сил тертя ?- швидкість, м / с;l- Визначає розмір, м;?- щільність, кг / м3; ? - Динамічна в'язкість, Па-с;? - Кінематична в'язкість, м2/ С;g- Прискорення вільного падіння, м / с2; Р - тиск, Па; ?-час, з
 Гравітаційний (критерій Фруда)  Fr =?2/ gl  Характеризує міру співвідношення сил інерції і сил тяжіння
 Гідравлічного опору (критерій Ейлера)  Еu = ?p /? ?2  Характеризує міру співвідношення сил гідростатичного тиску і сил інерції
 гомохронності  але = ?? /l  Характеризує несталий рух рідини

Таким чином, диференціальне рівняння Нав'є - Стокса, що описує рух в'язкої рідини, може бути представлено у вигляді критериального рівняння:

f(Rе, Але, Fr, Еu) = 0 (8)

Рівняння (8) є узагальненим критеріальним рівнянням гідродинаміки. Всі критерії рівняння (8), крім критерію Їй, є визначальними, так як вони складені з величин, що входять в умови однозначності. Критерій Ейлера, в який входить величина? Р, що є метою розрахунку, буде визначеним критерієм.

тоді

Еu = f(Rе, Але, Fr) або

Еu = AНостFrп, (9)

де А, c, т, п-емпіричні показники.

У ряді випадків рівняння (19) доповнюють геометричним симплексом l / d:

Еu = AНостFrп(l / d)b, (10)

де b- емпіричний показник.

при усталеному русі критерій Але виключається з критериального рівняння:

Еu = ArетFrп(l / d)b. (11)


У разі, якщо швидкість руху рідини не визначена, в розрахунки вводять похідні або модифіковані критерії подібності, складені з основних критеріїв. У цих умовах подібності невідома величина ? замінюється іншими величинами, які порівняно легко визначаються експериментально або аналітично.

Візьмемо відношення критеріїв Rе і Fr:

 (12)

Отриманий безрозмірний комплекс величин називається критерієм Галілея. Якщо помножити цей критерій на ставлення (?1-?2) / ?2 , То виходить новий критерій подібності - критерій Архімеда

 (13)

де ?1, ?2- Щільності рідини в різних точках, кг / м3.

17. Інваріанти подібності. Критерії подібності. Індикатор подібності. Узагальнене критеріальне рівняння. Визначальні і визначаються критерії подібності.

 



 Математичне моделювання |  Основні критерії гідродинамічної подібності.

 Диференціальне рівняння рівноваги Ейлера |  Основне рівняння гідростатики. Нівелірна висота. Пьезометрические висота. |  Закон Паскаля. Тиск рідини на дно і стінки посудини. |  Витрата рідини. Режими руху рідини. Гідравлічний радіус. Еквівалентний діаметр. |  Взякость. З-н Ньютона |  Рівняння нерозривності потоку в диференціальної і інтегральної формах. |  Рівняння Бернуллі. |  Диференціальні рівняння руху реальної рідини (Нав'є-Стокса) |  Моделювання ХТП. Два основні методи моделювання. |  Метод узагальнених змінних |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати