Головна

Інтегрування твори чотирьох ступенів син кіс

Інтегрування твори парних ступенівsin x, cos x. При обчисленні інтегралів  слід знизити ступінь тригонометричних функцій переходом до косинусу подвійного кута:  . Кут подвоюється до тих пір, поки одна з ступенів не стане непарної, після цього можна скористатися прийомами 10.9.2.1 або 10.9.2.2. (Питання 31)

Інтегрування творів синусів і косинусів кратних дуг. При знаходженні інтегралів виду , ,  за допомогою шкільних тригонометричних формул , ,  задача зводиться до інтегрування лінійної комбінації тих самих функцій (з іншими аргументами).

33.  , де  - натуральне число,  - Функція, раціонально залежить від своїх аргументів.
 Приклад такої функції -  . Як видно з цього прикладу, до розглянутого типу зводяться інтеграли виду  , де p, q, r, ... - Раціональні числа, так як, якщо n - Спільний знаменник чисел p, q, r, ..., То підінтегральна функція раціонально залежить від x и  . підстановка x = t n раціоналізує підінтегральної функції, тобто зводить її до раціональної функції змінної t.

34.Інтеграли, що містять квадратний тричлен, Ми вже розглядали деякі методи інтегрування таких функцій. Тут ми розглянемо тригонометричні підстановки для обчислення таких інтегралів, які зводять подинтегральнуюфункцію до функції, раціонально залежить від и  . Після виділення повного квадрата в тричлен (і відповідної лінійної заміни змінної) інтеграл зводиться, в залежності від знаків  і дискримінанту тричлена, до інтеграла одного з наступних трьох видів: , ,  . далі:

 раціоналізуються підстановкою x = a sin t (або x = a cos t).

 раціоналізуються підстановкою  (або

 раціоналізуються підстановкою x = a tg t (або x = a ctg t

Визначений інтеграл. Завдання про площу криволінійної трапеції. Поняття визначеного інтеграла. Класи інтегрованих функцій

Визначений інтеграл - одне з основних понять математичного аналізу. Обчислення площ, довжин дуг, обсягів, роботи, швидкості, моментів інерції і т. Д. Зводиться до обчислення певного інтеграла, який, в свою чергу, тісно пов'язаний з невизначеним. Нехай на відрізку [a,b] Задана функція y = f(x). Розіб'ємо відрізок [a,b] Довільним чином на n частин точками [x0 , x1], [x1 , x2], ..., [xi-1 , xi], ..., [xn-1 , xn]; довжину i-го відрізка позначимо :  ; максимальну з довжин відрізків позначимо  . На кожному з відрізків [xi-1 , xi] Виберемо довільну точку  і складемо суму .
 сума  називається інтегральною сумою. Якщо існує (кінцевий) межа послідовності інтегральних сум  при  , Що не залежить ні від способу розбиття відрізка [a,b] на частини [xi-1 , xi], Ні від вибору точок  , То функція f(x) Називається інтегрованою по відрізку [a,b], А ця межа називається певним інтегралом від функції f(x) По відрізку [a,b] І позначається

. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [a,b] (ba) Задана безперервна функція y = f(x), Яка бере на цьому відрізку невід'ємні значення:  при  . Потрібно визначити площу S криволінійної трапеції ABCD, Обмеженою знизу відрізком [a,b], Ліворуч і праворуч - прямими x = a и x = b, Зверху - функцією y = f(x).
 Для вирішення цього завдання розділимо довільним чином підставу AD фігури точками x0 = a, x1 , x2 , ..., xn-1 = a, xn = b на n частин [x0 , x1], [x1 , x2], ..., [xi-1 , xi], ..., [xn-1 , xn]; символом  будемо позначати довжину i-го відрізка:  . На кожному з відрізків [xi-1 , xi] Виберемо довільну точку  , знайдемо  , Обчислимо твір  (Цей твір дорівнює площі прямокутника Pi з повним правом [xi-1 , xi] І висотою  ) І підсумуємо ці твори за всіма прямокутникам. Отриману суму позначимо S ступ: .
Sступ дорівнює площі ступінчастою фігури, утвореної прямокутниками Pi , i = 1,2, ...,n; на лівому малюнку ця площа заштрихована. Sступ не дорівнює шуканої площі S, Вона тільки дає деяке наближення до S. Для того, щоб поліпшити це наближення, будемо збільшувати кількість n відрізків таким чином, щоб максимальна довжина цих відрізків  наближалася до нуля (на малюнку ступінчасті фігури зображені при n = 7 (ліворуч) і при n = 14 (справа)). при  різниця між Sступ и S буде теж прагнути до нуля, тобто
.

Класи інтегрованих функцій

-безперервні Функції.

Теорема 1. Будь-яка безперервна на відрізки [a, b] функція інтегровна на цьому відрізку.

-Монотонние Обмежені функції і деякі інші класи інтегрованих функцій.

Теореми 2. Будь-яка монотонна обмежена функція є інтегрованою функцією.

Теорема 3. Будь-яка обмежена функція, що має кінцеве число розривів интегрируема.

Теорема 4. Обмежена, що має рахункове число розривів функція інтегровна.

37Свойства певного інтеграла

1. Лінійність. якщо функції y = f(x), y = g(x) Інтегровними по відрізку [a,b], То по цьому відрізку интегрируема їх лінійна комбінація Af(x) + Bg(x) (A, B = Const), і
.

 2. Адитивність. якщо y = f(x) Інтегрована по відрізку [a,b] і крапка c належить цьому відрізку, то .

 Властивість адитивності залишається вірним при будь-якому розташуванні точок, якщо тільки функція інтегровна по самому широкому інтервалу.

 3. Інтеграл від одиничної функції (f(x) = 1).якщо f(x) = 1,то .
 4. Теорема про інтегрування нерівностей. Якщо в будь-якій точці  виконується нерівність  , І функції f(x), g(x) Інтегровними по відрізку [a,b], То .

 5. Теореми про оцінку інтеграла.
5.1. Якщо на відрізку [a,b] Функція задовольняє нерівності  , то .

 5.2. якщо функція f(x) Інтегрована по відрізку [a,b], То .

 6. Теорема про повну загальну середню. якщо f(x) Неперервна на відрізку [a,b], То існує точка  , Така що .

 Метод заміни змінної |  Формула Ньютона-Лейбніца. Інтеграли із змінною верхньою межею.


 Межа і безперервність функцій багатьох змінних |  Приватні похідні. Якобіан. |  Похідна за напрямком. градієнт |  Локальний екстремум. |  Оптимізаційні завдання в економіці |  Первісна. Визначення. Теорема про первісних |  Поняття невизначеного інтеграла. властивості |  Метод інтегрування. Метод розкладання. Заміна змінних. Інтегрування по частинах. |  Інтегрування раціональних функцій. Метод невизначених коефіцента. |  Інтегрування раціональних функцій, що залежать від sin x cos x. Універсальна тригонометрическая підстановка. Приватні тригонометричні підстановки |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати