На головну

Аксіоматичні теорії. Виводимість формул в обчисленні висловлювань.

В літературі відомий парадокс цирульника, Який є своєрідним варіантом парадоксу Рассела, тільки без залучення поняття безлічі. Одному солдатові, перукаря за професією, командир наказав голити тих і тільки тих солдатів, які самі не голяться. Солдат-цирульник, виконуючи наказ

командира, поголив тих солдатів, які самі не голилися, і зупинився перед питанням: чи повинен він голити самого себе? Якщо буде голити себе, то виявиться серед тих, хто сам голиться. Але таких (згідно з наказом) не можна голити. Якщо не голити, то буде вважатися, що він сам не голиться, а таких треба голити.

Відкриття парадоксів поставило під сумнів питання про те, що теорія множин є надійним фундаментом математики, так як цілком можливо поява теорем, які можуть бути доведені і настільки ж переконливо спростовані. Тому багато математики стали схилятися до думки про необ

димости аксиоматизации теорії множин. Ця робота була проведена, в результаті чого теорію множин Кантора, побудовану їм на інтуїтивному рівні, стали називати наївноютеорією множин, щоб відрізняти її від тієї ж теорії, але побудованої на аксіоматичної основі.

У загальному випадку суть аксіоматичного методу полягає внаступному. Всякий розділ науки характеризується певним безліччю Q істинних тверджень. деяку підмножину P істинних тверджень з безлічі Q вибирається в якості аксіом (що вважаються істинними без доказів), на основі яких засобами формальної логіки виводятсят всі інші істинні твердження безлічі Q. Тому іноді говорять, що «кожна аксіоматична теорія" стоїть на двох китах "»: 1) на безлічі вихідних істинних висловлювань -постулатов або аксіом і безлічі доказових висловлювань, т. Е. Теорем, і 2) на логіці, яка дає правила, по яким з аксіом виводяться теореми »

Для математики і математичної логіки аксіоматичний метод має найважливіше значення, так як дозволяє будувати несуперечливі формальні системи.

Теорема дедукції дає можливість встановити виводимість різних формул обчислення висловлювань простішим шляхом, ніж прямий вихід цих формул з аксіом за допомогою правил виведення. За допомогою теореми дедукції виводяться основні правила обчислення висловлювань:

1. Правило силогізму. Якщо формули (???) і (???) істинні, то формула (???) теж істинна

2. Правило перестановки посилок. Якщо формула (?? (???)) істинна, то істинної є формула (?? (???))

3. Правило з'єднання посилок. Якщо істинної є формула (?? (???)), то істинної буде формула (?????)

 



 обчислення предикатів |  Теорема дедукції. Предикати, квантори.

 Логічні операції. |  Формули логіки висловлювань |  Равносильность формул. |  Нормальні форми формул, приведення до ДНФ, КНФ. |  Використовуючи закон дистрибутивности, перетворимо формулу так, щоб все диз'юнкції виконувалися раніше, ніж кон'юнкції. |  Алгоритм отримання СДНФ по таблиці істинності. |  Алгоритм отримання СКНФ по таблиці істинності. |  Суперпозиції функцій. Повні системи логічних функцій. |  Мінімізація в класі діз'юнктівних нормальних форм. |  Обчислення висловлювань і числення предикатів. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати