Правити] Властивості нескінченно малих |  Правити] Порівняння нескінченно малих |  Властивості нескінченно великих функцій в точці |  Граничний перехід у нерівностях |  число e |  Доведення |  Правити] Другий чудовий межа |  Приватні похідні складної функції декількох змінних |  Похідна функції, заданої неявно |  Похідна неявно заданої функції. |

загрузка...
загрузка...
На головну

Безперервність функції декількох змінних

нехай функція n змінних u = f(x) = f(x1, x2, ..., xn) Визначена в деякому околі точки a = (a1, a2, ..., an) I Rn (Включаючи саму точку a).

Визначення 1. функція u = f(x) називається безперервної в точці a, якщо

 lim
x > a

f(x) = f(a).

Позначимо збільшення аргументів символами ?x1 = x1 ? a1, ?x2 = x2 ? a2, ..., ?xn = xn ? an. Відповідне приріст функції u=f(x)

?u = f(a1 + ?x1, a2 + ?x2, ..., an + ?xn) - f(a1, a2, ..., an).

називається повним приростом функції u=f(x) В точці a, Відповідним прірашенію
?x = {?x1, ?x2, ..., ?xn}.

Умова, що визначає безперервну функцію u = f(x) В точці a еквівалентно умові

 lim
?x > 0

?u = 0.

приріст

?xku = f(a1, ..., ak + ?xk, ..., an) - f(a1, a2, ..., an)

називається приватним збільшенням функції u в точці a, Відповідним приросту ?xk аргументу xk.

Визначення 2. функція u = f(x) = f(x1, x2, ..., xn) називається безперервної в точці a = (a1, a2, ..., an) по змінній xk , якщо

 lim
?xk > 0

?xku = 0.

Теорема 1. якщо функція u = f(x) = f(x1, x2, ..., xn) Неперервна в точці a, То вона неперервна в цій точці по кожній змінній x1, x2, ..., xn .

Протилежне твердження невірно.

Теорема 2. нехай функції f(x) і g(x), Визначені в області D I Rn і безперервні в точці a = (a1, a2, ..., an) I D .

тоді функції f(x) + g(x), f(x) · g(x) і f(x) /g(x) (При g(a) ? 0) неперервні в точці a

Доведення виходить з визначення безперервності функції в точці і теореми про межі суми, добутку і частки двох функцій.

Теорема 3. Будь-яка елементарна функція кількох змінних неперервна на множині, на якому вона визначена.

Теореми про властивості функції однієї змінної, безперервної на відрізку, справедливі для функції кількох змінних, безперервної на замкнутому обмеженому безлічі (компакті):

Теорема 4. Функція, безперервна на замкнутому обмеженому безлічі, обмежена на цій множині.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Функція, безперервна на замкнутому обмеженому безлічі, досягає на цій множині свого найбільшого і найменшого значень.

 



 безперервне відображення |  Правити] Властивості
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати