Головна

Граничний перехід у нерівностях

Арифметичні операції над сходяться послідовностями приводять до таких же арифметичних операцій над їх межами. У цьому пункті покажемо, що нерівності, яким задовольняють елементи сходяться послідовностей, в межі переходять у відповідні нерівності для меж цих послідовностей.

теорема. Якщо елементи збіжної послідовності {xn}, Починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn ? b (xn ? b), То і межа a цієї послідовності задовольняє нерівності a ? b (a ? b).

Доведення. Нехай всі елементи xn, Принаймні починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn ? b. Потрібно довести нерівність a ? b. Припустимо, що a < b. оскільки a - Межа послідовності {xn}, То для позитивного ? = b - a можна вказати номер Nтакий, що при n ? N виконується нерівність |xn - a| < b - a. Це нерівність еквівалентно наступним двом нерівності: - (b - a) < xn - a < b -a. Використовуючи праве з цих нерівностей, отримаємо xn < b, А це суперечить умові теореми. випадок xn ? b розглядається аналогічно. Теорема доведена.

зауваження. Елементи сходящейся послідовності {xn} Можуть задовольняти суворому нерівності xn > b, Однак при цьому межа a може виявитися рівним b. Наприклад, якщо  , то xn > 0, однак .

слідство 1. якщо елементи xn и yn сходяться послідовностей {xn} І {yn}, Починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності xn? yn, То їх межі задовольняють такому ж нерівності:

Справді, елементи послідовності {yn - xn} Невід'ємні, а тому неотрицателен і її межа  . Звідси слідує що

 



 Властивості нескінченно великих функцій в точці |  число e

 І НЕСКІНЧЕННО ВЕЛИКИМИ ФУНКЦИЯМИ |  Приклади. |  Приклади. |  Правити] Нескінченно мала величина |  Правити] Нескінченно велика величина |  Правити] Властивості нескінченно малих |  Правити] Порівняння нескінченно малих |  Доведення |  Правити] Другий чудовий межа |  безперервне відображення |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати