Головна

Другий чудовий межа

 або

Доказ другого чудового краю:

Доказ для натуральних значень

Доведемо спочатку теорему для випадку послідовності

За формулою бінома Ньютона:

вважаючи  , Отримаємо:

З даного рівності (1) випливає, що зі збільшенням n число позитивних доданків в правій частині збільшується. Крім того, при збільшенні n число  убуває, тому величини  зростають. Тому послідовність - зростаюча, при цьому

 (2).

Покажемо, що вона обмежена. Замінимо кожну дужку в правій частині рівності на одиницю, права частина збільшиться, отримаємо нерівність

Посилимо отримане нерівність, замінимо 3,4,5, ..., які стоять в знаменниках дробів, числом 2:

.

Суму в дужках знайдемо за формулою суми членів геометричної прогресії:

.

Тому  (3).

Отже, послідовність обмежена зверху, при цьому  виконуються нерівності (2) і (3): .

Отже, на підставі теореми Вейерштрасса (критерій збіжності послідовності) послідовність  монотонно зростає і обмежена, значить має межу, що позначається буквою e. Тобто

Знаючи, що другий чудовий межа вірний для натуральних значень x, доведемо другий чудовий межа для речових x, тобто доведемо, що  . Розглянемо два випадки:

1. Нехай  . Кожне значення x укладено між двома позитивними цілими числами:  , де  - Це ціла частина x.

Звідси випливає:  , тому

.

якщо  , то  . Тому, відповідно до межі  , Маємо:

.

За ознакою (про межі проміжної функції) існування меж .

2. Нехай  . зробимо підстановку  , тоді

.

З двох цих випадків випливає, що  для речового x.



 Основні теореми про границі. Арифметичні операції над межами. |  Неперервність функції в точці. Властивості функцій, неперервних в точці.

 Матриця лінійного перетворення координат. |  III. диференціальне числення |  Послідовності. |  Межа послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. |  Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності та їх властивості. |  Властивості меж послідовності, пов'язані з арифметичними операціями. |  Межа функції. Властивості границі функції в точці |  Межа логарифмічною функції |  Коментарі |  точки розриву |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати