Головна

Межа функції в точці.

 y f (x)

A + e

A

A - e

0 a - Daa + Dx

Нехай функція f (x) визначена в деякому околі точки х = а (т. Е. В самій точці х = а функція може бути і не визначена)

Визначення.Число А називається межею функції f (x) при х®а, якщо для будь-якого e> 0 існує таке число D> 0, що для всіх х таких, що0

вірно нерівність if (x) - Ai

Запис границі функції в точці:

2. Нескінченно мала функція в точці (на нескінченності).

визначення:функціяy = f (x) називається нескінченно малої функцією в точці x = a (При x  ), Якщо її межа в цій точці дорівнює нулю: .

теорема:Алгебраїчна сума і твір кінцевого числа нескінченно малих функцій в точці а, Як і твір нескінченно малої на обмежену функцію, є нескінченно малими функціями в точці а.

3. Нескінченно велика функція в точці (на нескінченності).

визначення:функція називається нескінченно великою функцією в точці  , Якщо для будь-якої збіжної до а послідовності  значень аргументу відповідна послідовність  значень функції є нескінченно великою.

Записують це так: , , , .

Важливо пам'ятати, що не існує такого поняття як «просто нескінченно мала функція» або «просто нескінченно велика функція». Функція може бути нескінченно малої або нескінченно великою тільки в конкретній точці.

4. Теореми про зв'язок між нескінченно малої і нескінченно великою функціями в точці.

Теорема 1: Якщо функція f (x) є нескінченно великою при x > a, то функція 1 / f (x) є нескінченно малою при x > a.

приклад:Ясно, що при x > + ?функція y = x2+1 є нескінченно великою. Але тоді згідно сформульованої вище теоремі функція  - Нескінченно мала приx > + ?, Т. Е. .

Теорема 2 (зворотна): Якщо функція f (x) - нескінченно мала при x > a (або x > ?) і не звертається в нуль, то y = 1 / f (x) є нескінченно великою функцією.

5. Теореми про границі функції: Про суму; про твір; про приватному двох функції; про постійне множителе).

Основні теореми про границі.

Теорема 1.  , Де С = const.

Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f (x) і g (x) мають кінцеві межі при х®а.

Теорема 2.

Доказ цієї теореми буде приведено нижче.

Теорема 3.

Слідство.

Теорема 4.  при

6. Правило розкриття невизначеності типу .

приклад:

.

При обчисленні межі невизначеності виду чисельник і знаменник дробу надоразделіть на x в старшій ступеня.

7. Правило розкриття невизначеності типу .

приклад:

 . .

При обчисленні невизначеності виду  потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити, потім підставити граничне значення аргументу і обчислити межа.

При розкритті невизначеностей виду и можна використовуватиправило Лопіталя.

Теорема (правило Лопіталя).нехай функції f (x) и g (x) Визначені і мають похідні в деякому околі точки а за винятком, можливо, самої точки а. Крім того, нехай  , причому  у зазначеній околиці точки а. Тоді якщо існує межа відносини  (Кінцевий або нескінченний), то існує і межа  , Причому справедлива формула

.

Зауваження 1.Правило Лопіталя можна застосовувати повторно, якщо и  задовольняють тим самим вимогам, що і вихідні функції f (x) і g (x).

Зауваження 2.Теоремаостаётся вірною і в разі, коли .

приклад 1.

приклад 2.

приклад 3.

невизначеності виду

Правило Лопіталя залишається справедливим при заміні умови на умова .

приклад 4.

 Таким чином, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналей. |  Приклад 5.


 Визначення похідної функції, геометричний і фізичний смисли похідною. |  Теорема про ознаку зростання (спадання) функції на проміжку. Правило дослідження функції на монотонність. |  Алгоритм знаходження проміжків зростання і спадання функції |  Алгоритм знаходження екстремумів функції |  Опуклість і увігнутість кривої на проміжку. точка перегину графіка функції. |  Приклад 1. Дослідити функцію на найбільше і найменше значення на заданому проміжку Х. |  Схема дослідження функції для побудови графіка функції. |  Рівність (2) називається формулою інтегрування частинами. |  Інтегрування заміною змінної. |  Інтегрування по частинах. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати