Головна |
y f (x)
A + e
A
A - e
0 a - Daa + Dx
Нехай функція f (x) визначена в деякому околі точки х = а (т. Е. В самій точці х = а функція може бути і не визначена)
Визначення.Число А називається межею функції f (x) при х®а, якщо для будь-якого e> 0 існує таке число D> 0, що для всіх х таких, що0
вірно нерівність if (x) - Ai
Запис границі функції в точці:
2. Нескінченно мала функція в точці (на нескінченності).
визначення:функціяy = f (x) називається нескінченно малої функцією в точці x = a (При x ), Якщо її межа в цій точці дорівнює нулю: .
теорема:Алгебраїчна сума і твір кінцевого числа нескінченно малих функцій в точці а, Як і твір нескінченно малої на обмежену функцію, є нескінченно малими функціями в точці а.
3. Нескінченно велика функція в точці (на нескінченності).
визначення:функція називається нескінченно великою функцією в точці , Якщо для будь-якої збіжної до а послідовності значень аргументу відповідна послідовність значень функції є нескінченно великою.
Записують це так: , , , .
Важливо пам'ятати, що не існує такого поняття як «просто нескінченно мала функція» або «просто нескінченно велика функція». Функція може бути нескінченно малої або нескінченно великою тільки в конкретній точці.
4. Теореми про зв'язок між нескінченно малої і нескінченно великою функціями в точці.
Теорема 1: Якщо функція f (x) є нескінченно великою при x > a, то функція 1 / f (x) є нескінченно малою при x > a.
приклад:Ясно, що при x > + ?функція y = x2+1 є нескінченно великою. Але тоді згідно сформульованої вище теоремі функція - Нескінченно мала приx > + ?, Т. Е. .
Теорема 2 (зворотна): Якщо функція f (x) - нескінченно мала при x > a (або x > ?) і не звертається в нуль, то y = 1 / f (x) є нескінченно великою функцією.
5. Теореми про границі функції: Про суму; про твір; про приватному двох функції; про постійне множителе).
Основні теореми про границі.
Теорема 1. , Де С = const.
Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f (x) і g (x) мають кінцеві межі при х®а.
Теорема 2.
Доказ цієї теореми буде приведено нижче.
Теорема 3.
Слідство.
Теорема 4. при
6. Правило розкриття невизначеності типу .
приклад:
.
При обчисленні межі невизначеності виду чисельник і знаменник дробу надоразделіть на x в старшій ступеня.
7. Правило розкриття невизначеності типу .
приклад:
. .
При обчисленні невизначеності виду потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити, потім підставити граничне значення аргументу і обчислити межа.
При розкритті невизначеностей виду и можна використовуватиправило Лопіталя.
Теорема (правило Лопіталя).нехай функції f (x) и g (x) Визначені і мають похідні в деякому околі точки а за винятком, можливо, самої точки а. Крім того, нехай , причому у зазначеній околиці точки а. Тоді якщо існує межа відносини (Кінцевий або нескінченний), то існує і межа , Причому справедлива формула
.
Зауваження 1.Правило Лопіталя можна застосовувати повторно, якщо и задовольняють тим самим вимогам, що і вихідні функції f (x) і g (x).
Зауваження 2.Теоремаостаётся вірною і в разі, коли .
приклад 1.
приклад 2.
приклад 3.
невизначеності виду
Правило Лопіталя залишається справедливим при заміні умови на умова .
приклад 4.
Таким чином, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналей. | Приклад 5.
Визначення похідної функції, геометричний і фізичний смисли похідною. | Теорема про ознаку зростання (спадання) функції на проміжку. Правило дослідження функції на монотонність. | Алгоритм знаходження проміжків зростання і спадання функції | Алгоритм знаходження екстремумів функції | Опуклість і увігнутість кривої на проміжку. точка перегину графіка функції. | Приклад 1. Дослідити функцію на найбільше і найменше значення на заданому проміжку Х. | Схема дослідження функції для побудови графіка функції. | Рівність (2) називається формулою інтегрування частинами. | Інтегрування заміною змінної. | Інтегрування по частинах. |