На головну

Диференційовність функцій однієї змінної. Зв'язок між дифференцируемого і безперервністю функції (довести теорему).

  1. A) Діяльність банків на міжнародній економічній арені.
  2. C) однієї тисячі рублів
  3. C) У вигляді графіка монотонної зростаючої функції.
  4. Стоматологія. Визначення спеціальності. Розділи стоматології. Зв'язок з іншими дисциплінами.
  5. Help імя_M-функції
  6. I. Потенціал і різниця потенціалів. Зв'язок між напруженістю електростатичного поля і різницею потенціалів.
  7. II. Взаємозалежність між організаціями

Функція f (x) називається диференційованою в точці , Якщо її приріст в цій точці представимо у вигляді , Де А - деяка константа.

, де .

Інакше кажучи, функція f диференційовна в точці , Якщо її приріст є лінійна функція відносно з точністю до нескінченно малих вищого порядку, ніж .

Критерій дифференцируемости: нехай функція f (x) визначена в деякому інтервалі (а, b) і , Тоді функція f (x) диференційована в точці  тоді і тільки тоді, коли у неї в точці  існує похідна.

Доведення:

 нехай функція f диференційовна в точці , Тоді її приріст за визначенням представимо у вигляді:

.

, Тобто похідна існує.

Нехай у функції f (x) в точці  існує похідна, тобто існує кінцевий межа .

.

.

Теорема доведена.

Слідство: коефіцієнт А в поданні збільшення диференціюється є похідна функції в точці .

Головна лінійна щодо частина приросту лінійної функції називається диференціалом функції в точці : .

Теорема. Необхідна умова дифференцируемости: якщо функція диференційована в точці , То вона неперервна в цій точці.

Доказ: функція диференційована в точці , тобто: . Покажемо, що .

.

Якщо покажемо, що , То доведемо безперервність функції.

.

Клас функцій, що диференціюються є підмножиною класу безперервних функцій.

Ця умова достатнім не є.

Наприклад, функція y = | x |. Ця функція неперервна в точці х = 0, але диференціюється в ній не є.

,

.

опція дифференцируема в точці 0.

 



Похідна та її геометричний зміст. Рівняння дотичної до плоскої кривої в заданій точці. | Основні правила диференціювання функцій однієї змінної (одне з цих правил довести).

Рівняння прямої, що проходить через задану точку в даному напрямку | Ознаки існування границі | Визначення границі функції в точці. Основні теореми про границі (одну з них довести). | Другий чудовий межа, число е. Поняття про натуральні логарифми. | Формули похідних основних елементарних функцій (одну з формул вивести). Похідна складної функції. | Теорема Ролля і Лагранжа (без доведення). Геометрична інтерпретація цих теорем. | Опр. екстремуму ф-ції однієї пер-ної. | Необхідна ум-е екстремуму. | Дослідити та побудувати графік |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати