Головна

Числові ряди.

  1. Квиток 92. Верхні і нижні зубні ряди. Роль зубів в травленні.
  2. Імовірнісні, числові і интервальная характеристики результатів вимірювань.
  3. Вибірка, способи її записи, графічне представлення і числові характеристики.
  4. Диполь. Полярні і неполярні молекули. Поляризація діелектриків. Види поляризації. Вільні і зв'язані заряди.
  5. Дискретні випадкові величини: закони розподілу і числові характеристики.
  6. Закони розподілу та числові характеристики випадкових сигналів
  7. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність

ГЛАВА 8. ЛАВИ.

вираз виду  , де  - Послідовність чисел, називається числовим рядом і позначаться  . ряд  називається залишком  -ого порядку вихідного ряду і позначається  . сума  перших членів ряду називається  -ої часткової сумою ряду.

ряд  називається сходящимся, Якщо існує кінцева межа и розбіжним, Якщо межа не існує. число  називається сумою сходиться ряду, при цьому пишуть  . Одночасно з рядом  сходиться і розходиться його залишок  . У разі сходиться ряду його залишок записують у вигляді .

Збіжність або розбіжність ряду не порушиться, якщо додати або відкинути кінцеве число його членів.

якщо ряд  сходиться, то (необхідна ознака збіжності ряду). Протилежне твердження невірно.

якщо  , То ряд  розходиться (остаточний признак розбіжність ряду).

 Ознака порівняння. Якщо для рядів и  , Починаючи з деякого  , для всіх  виконується умова  , То з збіжності ряду  слід збіжність ряду  , З розходження ряду  слід расходимость ряду .

 Граничний ознака порівняння. Еслісуществует кінцевий і відмінний від нуля межа  (Зокрема, якщо ~  при  ), То ряди и ( ,  починаючи з деякого  ) Сходяться або розходяться одночасно.

Для застосування ознак порівняння необхідна наявність «еталонних» рядів, збіжність або розбіжність яких відома. Як «еталонних» рядів широко використовуються: 1) узагальнений гармонічний ряд  , Який сходиться при  і розходиться при ; 2) геометричний ряд  , Який сходиться при  , При цьому його сума дорівнює  і розходиться при  . Таким чином, для застосування ознак порівняння потрібно знайти послідовність  або  , де  - Деякі числа, таку, що ~  або ~  при .

Корисно мати на увазі еквівалентності (при ,  ):

~ ~ ~ ~ ~ ,

~ ,

а також оцінки (  ), Що мають місце, починаючи з деякого  , для всіх .

У завданнях 8.1-8.9 показати, що такі ряди сходяться, і знайти їх суми:

8.1. 8.2. 8.3.

8.4. 8.5. 8.6.

8.7. 8.8. 8.9.

У завданнях 8.10-8.18використовуючи необхідний ознака збіжності ряду, встановити розбіжність наступних рядів:

8.10. 8.11. 8.12.

8.13. 8.14. 8.15.

8.16. 8.17. 8.18.

У завданнях 8.19-8.46використовуючи ознаки порівняння, досліджувати на збіжність наступні ряди:

8.19. 8.20. 8.21.

8.22. 8.23. 8.24.

8.25. 8.26. 8.27.

8.28. 8.29. 8.30.

8.31. 8.32.

8.33. 8.34.

8.35. 8.36. 8.37.

8.38. 8.39. 8.40.

8.41. 8.42. 8.43.

8.44. 8.45. 8.46.

ознака Даламбера. Якщо для ряду (  починаючи з деякого )  , То ряд сходиться при  і розходиться при  . якщо  , То ряд може збігатись або розходиться; в цьому випадку його збіжність досліджується за допомогою інших ознак.

У завданнях 8.47-8.62 використовуючи ознака Даламбера, досліджувати збіжність наступних рядів:

8.47. 8.48. 8.49. 8.50. 8.51. 8.52. 8.53. 8.54. 8.55. 8.56. 8.57. 8.58.

8.59. 8.60.

8.61. 8.62.

Ознака Коші (радикальний). Якщо для ряду (  починаючи з деякого )  , То ряд сходиться при  і розходиться при  . якщо  , То ряд може збігатись або розходиться; в цьому випадку його збіжність досліджується за допомогою інших ознак.

При застосуванні ознаки Коші корисно мати на увазі, що: , ,  , де  - Многочлен порядку  щодо .

У завданнях 8.63-8.74 використовуючи радикальний ознака Коші, дослідити збіжність наступних рядів:

8.63. 8.64. 8.65.

8.66. 8.67. 8.68. 8.69. 8.70. 8.71. 8.72. 8.73. 8.74.

Інтегральний ознака Коші. якщо  , Де функція  позитивна, монотонно убуває і неперервна при  , То ряд  і інтеграл  сходяться або розходяться одночасно.

У завданнях 8.75-8.80 використовуючи інтегральний ознака Коші, дослідити збіжність наступних рядів:

8.75. 8.76. 8.77.

8.78. 8.79. 8.80.

У завданнях 8.81-8.100досліджувати збіжність рядів:

8.81. 8.82. 8.83.

8.84. 8.85. 8.86.

8.87. 8.88.

8.89. 8.90. 8.91.

8.92  . 8.93  . 8.94

8.95  . 8.96  8.97

8.98. 8.99. 8.100.

ряд  називається абсолютно збіжним, Якщо ряд  сходиться. сходиться ряд  називається умовно збіжним, Якщо ряд  розходиться.

Сума абсолютно сходиться ряду не змінюється при перестановці членів ряду. Суму умовно сходиться ряду шляхом перестановки його членів можна зробити рівний будь-якого числа.

якщо ряд  абсолютно сходиться, то він є збіжним (остаточний признак збіжності знакозмінного ряду).

Для дослідження ряду на абсолютну збіжність використовують відомі ознаки збіжності знакоположітельних рядів. Зокрема, ряд  сходиться абсолютно, якщо  або  . У загальному випадку з розбіжність ряду  годі було розбіжність ряду  . Але якщо  або  , То розходиться не тільки ряд  , Але і ряд .

ряд називається Знакозмінні, Якщо всі його сусідні члени мають різні знаки.

 Ознака Лейбніца. Якщо для Знакозмінні ряду (  ) Виконані умови: 1)  (Може почати виконуватися починаючи з деякого  ); 2)  , То Знакозмінні ряд сходиться (принаймні умовно). Для залишку ряду  в цьому випадку справедлива оцінка .

Суму Знакозмінні ряду із заданою ступенем точності  обчислюють за наближеною формулою  , де  - Мінімальний з номерів  , для яких .

У завданнях 8.101-8.120 досліджувати на абсолютну і умовну збіжність наступні ряди:

8.101. 8.102. 8.103.

8.104 8.105 8.106.

8.107 8.108 8.109.

8.110. 8.111.

8.112. 8.113. 8.114.

8.115. 8.116. 8.117.

8.118. 8.119. 8.120.

У завданнях 8.121-8.124обчислити суму ряду з точністю до  . Скільки членів ряду слід для цього взяти?

8.121 8.122 8.123 8.124.



Невизначений інтеграл. | Функціональні ряди.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати