На головну

Доведення.

  1. Аргументація і логічний доказ. Склад, види.
  2. Аргументація і логічний доказ. Склад, види.
  3. Вірний доказ.
  4. Доведення.
  5. Доведення.
  6. Доведення.
  7. Доведення.

позначимо через  суму перших  випадкових величин. З лінійності математичного очікування отримаємо:

нехай  . Скористаємося нерівністю Чебишева:

 (24)

так як  . Зауважимо, що дисперсія суми перетворилася в суму дисперсій в силу попарной незалежності доданків, через яку все ковариации  у властивості 14 звернулися в нуль при  . Сума ж дисперсій доданків дорівнює  через їх однаковою розподіленості.

Зауваження 24.Ми не тільки довели збіжність, але і отримали оцінку для ймовірності середньому арифметичному будь-якого числа попарно незалежних і однаково розподілених величин відрізнятися від  більше, ніж на заданий :

 (25)

Легко бачити, що попарно незалежність доданків в ЗБЧ Чебишева можна замінити їх попарной некоррелірованні, нічого не змінюючи в доказі. ЗБЧ може виконуватися і для послідовності залежних і разнораспределённих доданків. Пропоную читачам, простеживши за рівністю і нерівностями (24), отримати доказ наступного твердження, що пропонує достатні умови виконання ЗБЧ для послідовності довільних випадкових величин.

Теорема 34 (ЗБЧ Маркова).Послідовність випадкових величин  з кінцевими другими моментами задовольняє ЗБЧ при виконанні будь-якого з наступних умов:

а)

якщо  , Тобто якщо  при ;

б)

якщо  незалежні и  (Тобто якщо )

в)

якщо  незалежні, однаково розподілені і мають кінцеву дисперсію (ЗБЧ Чебишева).

Теорема Маркова стверджує, що ЗБЧ виконаний, якщо дисперсія суми  доданків росте не дуже швидко з ростом .

Сильна залежність доданків призводить зазвичай до невиконання ЗБЧ. Якщо, наприклад, и  , то  , І властивість (23) не виконано (переконатися!). В цьому випадку  ; для однаково розподілених доданків дисперсія суми швидше рости не може.

Наступне твердження ми доведемо трохи пізніше. Порівняйте його умови з умовами ЗБЧ Чебишева.

Теорема 35 (ЗБЧ Хинчина(1)).Для будь-якій послідовності  незалежних (в сукупності) і однаково розподілених випадкових величин з кінцевим першим моментом  має місце збіжність:

Більш того, в умовах теореми 35 має місце і збіжність п. Н. послідовності к  . Це твердження називається посиленим законом великих чисел (УЗБЧ) Колмогорова, і його ми доводити не будемо.

Отримаємо як слідства з ЗБЧ Чебишева закон великих чисел Я. Бернуллі. На відміну від ЗБЧ Чебишева, що описує граничну поведінку середнього арифметичного випадкових в елічін з довільними розподілами, ЗБЧ Бернуллі має справу лише зі схемою Бернуллі.

Теорема 36 (ЗБЧ Бернуллі).нехай подія  може статися в будь-якому з  незалежних випробувань з однієї і тієї ж ймовірністю  , і нехай  - Число проваджень події в  випробуваннях. тоді  . При цьому для будь-якого

Доведення.Зауважимо, що  є сума незалежних, однаково розподілених випадкових величин, що мають розподіл Бернуллі з параметром  (Індикаторів того, що у відповідному випробуванні відбулося  ):  , де

и ,  . Залишилося скористатися ЗБЧ в формі Чебишева і нерівністю (25).



Закон великих чисел (нерівності Маркова, Чебишева; теореми Чебишева, Бернуллі; центральна гранична теорема). | Предмет математичної статистики. Генеральна і вибіркова сукупності (визначення, обсяг, види вибірок, шляхи вивчення генеральної сукупності).

Моменти випадкових величин. Асиметрія. Ексцес. | Функції однієї випадкової величини. | Біноміальний закон розподілу. | Закон Пуассона. | Геометричний розподіл. | Гіпергеометричний розподіл. | Рівномірний розподіл. | Показовий розподіл. | Нормальний закон розподілу. | Багатовимірні випадкові величини. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати