Теорема про стягують системі сегментів. | Теорема Больцано-Вейрштрасса. | Критерій Коші збіжності послідовності. | Доведення. | Необхідність доведена. | Теорема доведена. | Граничні точки послідовності. (Два визначення і їх еквівалентність) | Еквівалентність визначень межі функції в точці за Коші і по Гейне. | Критерій Коші існування границі функції в точці. | Необхідність доведена. |

загрузка...
загрузка...
На головну

Теорема доведена.

  1. Б) (II теорема еренфеста).
  2. КВИТОК # 19 Мінори матриці: застосування до дослідження залежності рядків і стовпців: теорема про ранзі матриці. Умови вирожденність матриць
  3. Квиток №11 (Теорема про інтегрованості в кінцевому вигляді дрібно-раціональної ф-ії)
  4. БІЛЕТ№7 Теорема про проектування прямого кута
  5. Бокс 3.4. Теорема Модільяні-Міллера
  6. Булеві функції. Повнота і замкнутість. Теорема Поста про повноту.
  7. Вектор електричного зміщення. Теорема Остроградського-Гаусса для електричного поля в діелектрику.

// Зауваження 1. Для інтервалу або полусегмента теорема невірна (див. Приклад перед теоремою).

// Зауваження 2. Якщо f(x) Досягає на безлічі X своєї точної верхньої межі, то вона має на цій множині максимальне значення, тобто f(x) = f(x), В іншому випадку функція не має на безлічі X максимального значення. Те ж саме отн. до min і inf. З теореми 7.3 випливає, що якщо f(x) Неперервна на сегменті [a, b], То вона має на цьому сегменті максимальне і мінімальне значення. Обмежена, але розривна на сегменті функція може не мати на цьому сегменті мінімального і максимального значення.

приклад. (Тут малюнок)

f(x) = . f(x) = 1, мінімального значення немає.


23. Теорема Кантора.

безперервність f(x) В точці x'Означає, що "e> 0 $ d> 0," x'', :  

визначення. функція f(x) Називається рівномірно неперервною на множині X, Якщо "e> 0 $ d> 0," xx'' I X, :  

// Зауваження. З визначення випливає, що, по-перше, рівномірна безперервність - властивість функції на множині, на відміну від звичайної безперервності - властивості функції в точці. І по-друге, відмінність рівномірну неперервність від звичайної безперервності на безлічі полягає в тому, що при звичайній безперервності функції на безлічі X (Тобто при безперервності в кожній точці) " x'I X по заданому e знайдеться потрібне d (тобто таке d, що з (1) слід (2)), так що d = d (e, x'), А при рівномірній безперервності по заданому e знайдеться потрібне d, загальне для всіх x'I X.

Приклади.

f(x) = x рівномірно неперервна на (- ?, ?).

Справді, "e> 0 візьмемо d = e (тим самим d залежить тільки від e і не залежить від x).

якщо ?x'' -x'? f(x'') -f(x') ? = ?x'' -x'?

f(x) =  на X = {0 < x ? 1}.

Ця функція неперервна на (0, 1), але не є рівномірно неперервною.

(Тут малюнок)

Справді, візьмемо e = 1 і візьмемо x'= , x'' =  . Тоді "d> 0 $ N: ?x'- x'' ? f(x') - f(x'') ? = ?n - (n + 2) ? = 2> e = 1. Тим самим, для зазначеного e бракуватиме потрібного d. Це і означає, що дана функція не є рівномірно безупинної на [0, 1].

теорема 7.4 (Кантора). Безперервна на сегменті функція рівномірно неперервна на цьому сегменті.



Обмеженість безперервної на сегменті функції (1-а теорема Вейрштрасса). | Доведення.
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати