На головну

Узагальнюючі приклади для лінійних рівнянь Ейлера.

  1. I.1.3. Вишукування майданних і лінійних споруд.
  2. RISC і CISC-архітектури процесорів. Переваги і недоліки. Приклади сучасних процесорів з RISC і CISC-архітектурою.
  3. SDC-параметризация нелінійних об'єктів
  4. Автоколебания, блок-схеми, приклади.
  5. Адаптація рекламних текстів (поняття і приклади).
  6. Алгебра випадкових подій, діаграми Вьенна-Ейлера.
  7. АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Набір узагальнюючих Прикладів, представлених нижче, призначений надати максимальну допомогу студентам, які відчувають труднощі при вивченні теми: Лінійні рівняння Ейлера.

O O O

приклад 10-01: Знайти спільне рішення однорідного рівняння Ейлера: .

Рішення:

Спосіб-1.

0). Застосуємо підстановку:  . У нашому випадку: ,  . Використовуючи формулу (6), отримуємо: > .

1). З характеристичного рівняння  маємо: =  і ФСР: = , = .

2). Загальне рішення: =  , де .

відповідь: Загальне рішення рівняння: =  , де .

Спосіб-2.

0). Застосуємо підстановку:  . З огляду на результати застосування Способу-1, відразу записуємо рівняння:  і обчислюємо: = .

1). З огляду на підстановку  , Записуємо ФСР: = и = .

2). Загальне рішення: = .

відповідь: Загальне рішення рівняння: = .

зауваження: Звернемо увагу на особливості застосування другого способу в зв'язку з перетворенням (5) для випадку комплексних коренів !

приклад 10-02: Знайти спільне рішення однорідного рівняння Ейлера: .

Рішення:

Спосіб-1.

0). Застосуємо підстановку:  . У нашому випадку: ,  . Використовуючи формулу (6), отримуємо: >  , Права частина:  - Многочлен 1-го ступеня.

1). З характеристичного рівняння  маємо:  = -2,  = 3. Складаємо за загальним правилом ФСР: = , = .

2). Загальне рішення: = .

3). Складемо вираз для приватного рішення. З огляду на, що для функції  число  не збігається з характеристичними корінням ,  , отримуємо =  . Залишається знайти невизначені коефіцієнти .

4). Так як  має бути рішенням заданого рівняння, знайдемо похідні: = ,  = 0. Підставивши , ,  в рівняння, отримаємо тотожність:  , Звідки знаходимо:  = -2, =  . значить: = .

5). Складемо спільне рішення неоднорідного рівняння: = + =  , де  , або = .

відповідь: загальне рішення: = .

приклад 10-03: Знайти спільне рішення однорідного рівняння Ейлера: .

Рішення:

Спосіб-1.

0). Застосуємо підстановку:  . У нашому випадку: ,  . Використовуючи формулу (6), отримуємо: > .

1). З характеристичного рівняння  маємо: =  = 0,  = 3. Складаємо за загальним правилом ФСР:  = 1, = , = .

2). Загальне рішення: =  , де .

зауваження: Із записів  = 1, =  випливає, що при використанні змінної  облік кратності характеристичного кореня  відбивається у вигляді: =  , А при переході до змінної  - у вигляді: = .

Спосіб-2.

0). Застосуємо підстановку:  . З огляду на результати застосування Способу-1, відразу записуємо рівняння: и =  = 0,  = 3.

1). З огляду на Зауваження, записуємо ФСР:  = 1 і = = , = .

2). Загальне рішення: = .

відповідь: Загальне рішення рівняння: = .

приклад 10-04: Виділити рішення рівняння:  , Яке задовольняє крайовим умовам: , .

Рішення:

1). Складемо характеристичне рівняння:  , Його коріння:  = -1,  = 1.

2). Складаємо ФСР: ,  і спільне рішення: = .

3). Використовуючи крайові умови, запишемо: = , =  . знаходимо: = =  . Слід приватне рішення: = = .

зауваження: Вирази для довільних постійних величин  , А також приватне рішення, використовують відому функцію  - Гіперболічний синус.

відповідь: Приватне рішення: = .

приклад 10-05: Виділити рішення рівняння:  , Яке задовольняє крайовим умовам: , .

Рішення:

1). Складемо характеристичне рівняння:  , Його коріння: .

2). ФСР: ,  . Загальне рішення: =  . Обчислимо похідну: = .

3). Використовуючи крайові умови, запишемо: = , =  . знаходимо: =  . Слід приватне рішення: =  - Єдине рішення.

відповідь: Приватне рішення: =  - Єдине рішення.

приклад 10-06: Знайти спільне рішення рівняння Ейлера: .

Рішення:

Спосіб-1.

 . Перетворимо задане рівняння до стандартної форми, застосовуючи заміну змінної:  . З урахуванням цієї заміни обчислимо: и =  = 2 , =  = 4  . Тепер вважаємо, що  і рівняння набуває вигляду:  , Але тепер враховуємо похідні по змінної .

1). Застосуємо підстановку: =  . У нашому випадку: ,  . Використовуючи формулу (6), отримуємо: > .

2). З характеристичного рівняння  маємо: =  = 1 - кратність кореня. Складаємо за загальним правилом ФСР: = , =  , де = .

2). Записуємо спільне рішення: = .

відповідь: Загальне рішення рівняння: = .

O

Питання для самоперевірки:

1. Що таке рівняння Ейлера?

2. Які стандартні способи вирішення однорідного рівняння Ейлера?

3. Які стандартні способи вирішення неоднорідного рівняння Ейлера?

4. Що означає граничні умови при вирішенні ДУ?

5. Як шукають рішення ДУ, яке задовольняє заданим граничним (крайовим) умовам?

- < ?> -

 



Крайові задачі лінійних диференціальних рівнянь. | Ударна хвиля

Загальні відомості. | Спосіб-1 рішення однорідного диференціального рівняння Ейлера. | Спосіб-2 рішення однорідного диференціального рівняння Ейлера. | Неоднорідне диференціальне рівняння Ейлера. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати