Головна

Існування і властивості власних базисів

  1. I.1. Образотворчі властивості фронтальної проекції двох-пірамідної системи Хеопса-Голоду
  2. I.5. Образотворчі властивості двухкартінного комплексного креслення двухпірамідной системи Хеопса-Голоду
  3. II. Системи збудження СД і їх основні властивості
  4. P-n перехід, його властивості, види пробоїв
  5. Pn-перехід і його властивості.
  6. Rigid Body Properties - властивості жорсткого тіла
  7. V естетичні властивості

У розділі "Матриця лінійного перетворення" ми з'ясували, що кожне лінійне перетворення  мірного лінійного простору в фіксованому базисі задається матрицею. Якщо змінюється базис, то, як правило, змінюється і матриця. Виникає питання, чи не можна знайти базис, в якому матриця лінійного перетворення має найбільш простий вигляд. У загальному випадку вибрати такий базис досить складно. Це пов'язано з перебуванням нормальної жорданової форми матриці, виклад якого можна знайти в більш докладних підручниках з лінійної алгебри, наприклад, в [4], [5]. Наступна теорема відповідає на це питання в більш простому випадку.

теорема 19.2 нехай  - Лінійне перетворення  мірного лінійного простору. Матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд

 (19.5)


тоді і тільки тоді, коли вектори базису є собственнное векторами перетворення  , Відповідними власним числам .

Доведення. нехай перетворення  має  лінійно незалежних власних векторів  , Відповідних власним числам  . Так як вектори  лінійно незалежні, то вони утворюють базис. Знайдемо матрицю перетворення  в цьому базисі. Її перший стовпець є координатним стовпчиком вектора  . Так як  - Власний вектор, то

Координатний стовпчик цього вектора  . Другий стовпець матриці  є координатним стовпчиком вектора  . Так як  - Власний вектор, то

Координатний стовпчик цього вектора  . Обчислюючи аналогічно інші стовпці, отримуємо, що матриця лінійного перетворення  в базисі  має вигляд (19.5). Перша частина теореми доведена.

Нехай в деякому базисі  матриця лінійного перетворення має вигляд (19.5). Знайдемо образ вектора  . Цей вектор має координатний стовпець  , Його образ має координатний стовпець

отже,  - Власне число перетворення  , а  - Соответствущий йому власний вектор. Аналогічно знаходимо, що будь-який базисний вектор  є власним вектором перетворення  , Відповідним власному числу .

слідство 19.2 Якщо у матриці  порядку  існує набір з  лінійно незалежних собственнное векторів, відповідних власним числам  , То матриця  подібна діагональної матриці з числами  на діагоналі.

теорема 19.3 Нехай власні вектори  перетворення  відповідають власним числам  , Серед яких немає рівних один одному. Тоді система векторів  є лінійно незалежною.

Доведення. Скористаємося методом математичної індукції по числу векторів. якщо  , То твердження теореми випливає з того, що власний вектор - ненульовий.

Нехай твердження вірне для системи векторів  . Складемо лінійну комбінацію векторів  і прирівняємо її до нуля

 (19.6)


До обох частин застосуємо перетворення

За визначенням лінійного перетворення отримаємо

Так як  - Власні вектори, то

Помножимо рівність (19.6) на  і віднімемо з останнього рівності. отримаємо

Так як за припущенням індукції вектори  лінійно незалежні, то

За умовою  , Отже,  . Підставами ці значення в (19.6), отримаємо  . Отримали, що з рівності (19.6) слід  , Тобто вектори  лінійно незалежні.

слідство 19.3 якщо матриця  порядку  має  попарно різних власних чисел, то вона подібна до діагональної матриці.

Власні вектори і власні значення | визначення


Приклади підпросторів. | визначення | значення | Базис. розмірність | лінійна оболонка | приклади | подання | властивості | Доказ (умови спільності системи) | Лінійне перетворення в різних базисах |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати