Головна |
У розділі "Матриця лінійного перетворення" ми з'ясували, що кожне лінійне перетворення мірного лінійного простору в фіксованому базисі задається матрицею. Якщо змінюється базис, то, як правило, змінюється і матриця. Виникає питання, чи не можна знайти базис, в якому матриця лінійного перетворення має найбільш простий вигляд. У загальному випадку вибрати такий базис досить складно. Це пов'язано з перебуванням нормальної жорданової форми матриці, виклад якого можна знайти в більш докладних підручниках з лінійної алгебри, наприклад, в [4], [5]. Наступна теорема відповідає на це питання в більш простому випадку.
теорема 19.2 нехай - Лінійне перетворення мірного лінійного простору. Матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд
(19.5) |
тоді і тільки тоді, коли вектори базису є собственнное векторами перетворення , Відповідними власним числам .
Доведення. нехай перетворення має лінійно незалежних власних векторів , Відповідних власним числам . Так як вектори лінійно незалежні, то вони утворюють базис. Знайдемо матрицю перетворення в цьому базисі. Її перший стовпець є координатним стовпчиком вектора . Так як - Власний вектор, то
Координатний стовпчик цього вектора . Другий стовпець матриці є координатним стовпчиком вектора . Так як - Власний вектор, то
Координатний стовпчик цього вектора . Обчислюючи аналогічно інші стовпці, отримуємо, що матриця лінійного перетворення в базисі має вигляд (19.5). Перша частина теореми доведена.
Нехай в деякому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд (19.5). Знайдемо образ вектора . Цей вектор має координатний стовпець , Його образ має координатний стовпець
отже, - Власне число перетворення , а - Соответствущий йому власний вектор. Аналогічно знаходимо, що будь-який базисний вектор є власним вектором перетворення , Відповідним власному числу .
слідство 19.2 Якщо у матриці порядку існує набір з лінійно незалежних собственнное векторів, відповідних власним числам , То матриця подібна діагональної матриці з числами на діагоналі.
теорема 19.3 Нехай власні вектори перетворення відповідають власним числам , Серед яких немає рівних один одному. Тоді система векторів є лінійно незалежною.
Доведення. Скористаємося методом математичної індукції по числу векторів. якщо , То твердження теореми випливає з того, що власний вектор - ненульовий.
Нехай твердження вірне для системи векторів . Складемо лінійну комбінацію векторів і прирівняємо її до нуля
(19.6) |
До обох частин застосуємо перетворення
За визначенням лінійного перетворення отримаємо
Так як - Власні вектори, то
Помножимо рівність (19.6) на і віднімемо з останнього рівності. отримаємо
Так як за припущенням індукції вектори лінійно незалежні, то
За умовою , Отже, . Підставами ці значення в (19.6), отримаємо . Отримали, що з рівності (19.6) слід , Тобто вектори лінійно незалежні.
слідство 19.3 якщо матриця порядку має попарно різних власних чисел, то вона подібна до діагональної матриці.
Власні вектори і власні значення | визначення
Приклади підпросторів. | визначення | значення | Базис. розмірність | лінійна оболонка | приклади | подання | властивості | Доказ (умови спільності системи) | Лінійне перетворення в різних базисах |