Головна

Нормальний закон розподілу (закон Гаусса)

  1. A) закон не встановлює силу доказів
  2. B) Закон великих чисел полягає в тому, що сума великого числа випадкових величин прагне до певного межі.
  3. Cімметрія простору - часу і закони збереження
  4. Судова система і система правоохоронних органів з «Основ законод-ва СРСР і союзних республік» 1958 р
  5. I. Закон про політичні партії.
  6. I. Електричний струм в рідинах. Електроліз. Закон електролізу. Застосування електролізу.
  7. I частина. Перевірка закону зворотних квадратів

Щільність ймовірності нормально розподіленої випадкової величини  виражається формулою

 (8.1)

Крива розподілу зображена на рис. 16. Вона симетрична щодо точки  (Точка максимуму). при зменшенні  ордината точки максимуму необмежено зростає, при цьому крива пропорційно сплющується вздовж осі абсцис, так що площа під її графіком залишається рівною одиниці (рис. 17).

Нормальний закон розподілу широко застосовується в задачах практики. Пояснити причини цього вперше вдалося Ляпунову. Він показав, що якщо випадкова величина може розглядатися як сума великого числа малих доданків, то при досить загальних умовах закон розподілу цієї випадкової величини близький до нормального незалежно від того, які закони розподілу окремих складових. А так як практично випадкові величини в більшості випадків бувають результатом дії безлічі причин, то нормальний закон виявляється найбільш поширеним законом розподілу (докладніше про це [url] див. Частину 9 [/ url]). Зазначимо числові характеристики нормально розподіленої випадкової величини (математичне очікування і дисперсія):

Таким чином, параметри и  в натуральному вираженні (8.1) нормального закону розподілу є математичне очікування і середньоквадратичне відхилення випадкової величини. Беручи це до уваги, формулу (8.1) можна представити таким чином:

Ця формула показує, що нормальний закон розподілу повністю визначається математичним очікування і дисперсією випадкової величини. Таким чином, математичне очікування і дисперсія повністю характеризують нормально розподілену випадкову величину. Зрозуміло, що в загальному випадку, коли характер закону розподілу невідомий, знання математичного очікування і дисперсії недостатньо для визначення цього закону розподілу.

Характеристична функція нормального розподілу випадкової величини задається формулою

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина  задовольняє нерівності .

Рішення. Використовуючи властивість 3 щільності ймовірності (див. Розділ 4, частина 4), отримуємо


 покладемо  , тоді


 де  - Функція Лапласа ([url] див. Додаток 2 [/ url]).

Виконаємо деякі числові розрахунки. якщо покласти  в умові прикладу 1, то

Останній результат означає, що з імовірністю, близькою до одиниці (0,9973), випадкова величина, що підкоряється нормальному закону розподілу, не виходить за межі інтервалу  . Це твердження називають правилом трьох сигм.

Нарешті, якщо  , То випадкова величина, розподілена за нормальним законом з такими параметрами, називається стандартизованої нормальною величиною. На рис. 18 зображений графік щільності ймовірності цієї величини

Приклади з використанням нормального закону розподілу наведені також в частині 9.

характеристична функція | Логарифмічно нормальний розподіл


Випадкові події, операції над подіями. | Імовірність випадкової події і методи її обчислення | Перестановки з n елементів | Число розміщень з n елементів по m | Відносна частота появи випадкової події і її обчислення | Теорема множення ймовірностей. | Формула повної ймовірності | Формула Байєса | Гамма-розподіл | Експонентний закон розподілу |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати