Головна

Емпірична функція розподілу, полігон, гістограма.

  1. II. Статечна функція збуту
  2. Microsoft Word?а ендірілген есептеу функціялари
  3. U - функція деякої змінної x
  4. А. Функція заощаджень
  5. Алгебра, висловлювання, предикати, булевих функцій, аксіоми алгебри предикатів
  6. Аналіз як функція управління маркетингом, його прикладне значення.
  7. аналітична функція

Емпіричної функцією розподілу, побудованої за вибіркою  обсягу  , Називається випадкова функція  , При кожному  рівна

Іншою характеристикою розподілу є таблиця (для дискретних розподілів) або щільність (для абсолютно неперервних). Емпіричним, або вибірковим аналогом таблиці або щільності є так звана гістограма.

Гістограма будується по групованим даними. Передбачувану область значень випадкової величини  (Або область вибіркових даних) ділять незалежно від вибірки на кілька інтервалів (не обов'язково однакових). нехай , ,  - Інтервали на прямий, звані інтервалами угруповання. позначимо для  через  число елементів вибірки, що потрапили в інтервал :

 (1)

На кожному з інтервалів  будують прямокутник, площа якого пропорційна  . Загальна площа всіх прямокутників повинна дорівнювати одиниці. нехай  - Довжина інтервалу  . Висота  прямокутника над  дорівнює

 Отримана фігура називається гістограмою.

полігоном називають ламану лінію, відрізки якої з'єднують точки з координатами по осі абсцис, рівними серединам інтервалів, а по осі ординат - відповідним частостей. Емпірична функція розподілу відображається ступінчастою ламаною лінією: над кожним інтервалом проводиться відрізок горизонтальної лінії на висоті, пропорційної накопиченої частости в поточному інтервалі. Накопичена частость дорівнює сумі всіх частостей, починаючи з першого і до даного інтервалу включно.

Питання 34. Вибіркові числові характеристики. Вибіркове середнє.

Основною характеристикою статистичного ряду є вибіркове середнє. Для дискретного статистичного ряду вибіркове середнє одно

Для інтервального статистичного ряду в якості  беруться середини інтервалів угруповання.

Питання 35. Вибіркова дисперсія. Дисперсія об'єднаної вибірки.

Вибіркової дисперсією називається середнє арифметичне квадратів відхилень варіант від їх вибіркової середньої: .

Для практичних обчислень більш зручною є наступна формула:  ^ 2 - (  ) ^ 2, де  - середнє

арифметичне квадратів відхилень: = .

Якщо ряд складається з декількох (k) груп спостережень, то загальна дисперсія  дорівнює сумі середньої арифметичної

Групових дисперсій і груповий дисперсії (дисперсії середніх)  , Т. Е. + .

Питання 36. Вибіркові числові характеристики. Коваріація і коефіцієнт кореляції.

Мірою мінливості (варіації) ознаки є вибіркове середнє квадратичне відхилення, яке визначається як корінь з вибіркової дисперсії: .

Для позитивних ознак визначається коефіцієнт варіації, який є процентним відношенням вибіркового середнього квадратичного відхилення до вибіркової середньої: v =  ?100%.

Якщо у вибірці в кожному випробуванні (вимірі) кілька величин вимірюються спільно (в системі), то для кожної

пари має сенс вибіркова коваріація  ) =  , Аналогічна ковариации,

введеної в теорії ймовірностей.

Мірою лінійного зв'язку двох ознак X і Y є вибірковий коефіцієнт кореляції, який вираховується за формулою =  , де  - Відповідно вибіркове квадратичне відхилення випадкових величин X і

Y; .

Питання 37. Види статистичних оцінок. Загальні вимоги до точкових оцінками: несмещённость, спроможність і ефективність.

Нехай F (x,  ) - Функція розподілу випадкової величини X, яка містить один невідомий параметр  , А x1, x2, ..., xn -виборка спостережень цієї випадкової величини. точкової оцінкою  невідомого параметра  називається наближене значення цього параметра, отримане за вибіркою.

Є два види статистичних оцінок параметра. Перший вид пов'язаний з оцінкою величини параметра, яка характеризується одним числом (або вектором), якому відповідає деяка точка на числовій осі (або в просторі). Інший вид пов'язаний з пошуком інтервалу (області), в якому із заданою ймовірністю знаходиться істинне значення параметра.

Однією з основних характеристик якості оцінок є Незміщеність. оцінка  називається несмещенной оцінкою параметра  , Якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру, т. Е. M ( = .

оцінка  параметра  називається спроможною, якщо вона сходиться по ймовірності до  при n  . Теорема. Якщо M (  і D (  при n  то  - Заможна оцінка параметра .

несмещенная оцінка  називається ефективною в класі оцінок  , Якщо D (

Вибіркове середнє є несмещенной оцінкою математичного очікування: M (  = M (X).

Вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою дисперсії: M (

Незміщеної оцінкою дисперсії є уточнена вибіркова дисперсія, яка визначається з формул: .

Питання 41. Точкові оцінки параметрів розподілу. Метод моментів.

Є випадкова вибірка x1, x2, ..., xN з генеральної сукупності X, розподіл якої відомо з точністю до вектора параметрів  . Потрібно знайти оцінку  параметра .

Нехай r - розмірність вектора (  = (  )). Передбачається, що у випадкової величини X існують перші r

моментів:  , Де k = 1, 2, ..., r. величини  є функціями невідомого вектора параметрів ,  т. е.

=  . Розглядаються вибіркові моменти  (Або ж вибіркові центральні моменти  ). У методі моментів як точкової оцінки  вектора параметрів  беруть статистику, значення якої отримують як

рішення системи рівнянь =  , K = 1, 2, ..., r.

Питання 42. Точкові оцінки параметрів розподілу. Метод максимальної правдоподібності.

Є випадкова вибірка x1, x2, ?, xN з генеральної сукупності X, розподіл якої відомо з точністю до параметра  (Вектора параметрів  ). Потрібно знайти оцінку  параметра .

Метод максимальної правдоподібності заснований на використанні умов екстремуму функції правдоподібності.

Для дискретної випадкової величини функція правдоподібності визначається за формулою

L (x;  = P ( ;  , Де p ( ;  - Ймовірність події  , Що залежить від .

Для неперервної випадкової величини функція правдоподібності визначається за формулою L (x;  = F ( ;  , Де f ( ;  - Задана щільність розподілу випадкової величини X в точці .

Оцінкою максимальної правдоподібності параметра  називається така статистики  , Значення якої для будь-якої вибірки задовольняють умові L (x;  = Max L (x;

Оцінку максимального правдоподібності знаходять з рівняння правдоподібності

Питання 43. Інтервальні оцінки. Довірчий інтервал і довірча ймовірність. Рівень значущості.

Довірчим інтервалом (інтервального оцінкою) для параметра  з довірчою ймовірністю  називається такий інтервал (  , Для якого виконується умова: P ( .

величина  називається рівнем значущості.

Питання 44. Основні розподілу ймовірностей математичної статистики.

Нормальний розподіл. =

Нормальному розподілу підпорядковується вибіркове середнє у випадках, коли в досвіді ми спостерігаємо випадкові

величини Xi, кожна з яких підпорядковується нормальному розподілу  . В цьому випадку .

розподіл  (Хі квадрат). сума  квадратів незалежних випадкових величин, кожна з яких має нормальне стандартний розподіл  підпорядковується розподілу Пірсона  з k ступенями свободи - це число незалежних доданків у сумі.

Розподіл Стьюдента. Ставлення t = Z /  стандартної нормально розподіленої випадкової величини Z до випадкової величиною  підпорядковується розподілу Стьюдента з k ступенями свободи - це число незалежних доданків у сумі.

Розподіл Фішера-Снедекора. X = F (  . Окремий випадок - квадрат випадкової величини

величини, яка має розподіл Ст'юдента з  ступенями свободи, збігається з розподілом Фішера-Снедекора з (1,  ) Ступенями свободи. Розподіл Фішера-Снедекора використовується, наприклад, при

? порівнянні двох дисперсій

? перевірці гіпотези про рівність нулю всіх або частини коефіцієнтів лінійної регресії.

Питання 45. Интервальная оцінка математичного очікування нормально розподіленої генеральної сукупності.

Довірчий інтервал для математичного очікування нормально розподіленої випадкової величини при відомій дисперсії. Вихідні дані: вибірка x1, x2, ..., xN обсягу N з нормально розподіленої генеральної сукупності з відомою дисперсією  довірча ймовірність .

Шуканий довірчий інтервал ( ;  ), Де  - Квантиль нормального розподілу рівня 1 , .

Довірчий інтервал для математичного очікування нормально розподіленої випадкової величини при невідомій дисперсії. Вихідні дані: вибірка x1, x2, ?, xN обсягу N з нормально розподіленої генеральної сукупності; довірча ймовірність .

Шуканий довірчий інтервал ( ;  ), Де S = ,  - Уточнена вибіркова дисперсія;  - Квантиль розподілу Стьюдента з (N-1) -м ступенем свободи рівня 1  / 2.

Питання 46. Интервальная оцінка дисперсії нормально розподіленої генеральної сукупності.

Довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини при відомому математичному очікуванні. Вихідні дані: вибірка x1, x2, ?, xN обсягу N з нормально розподіленої генеральної сукупності з відомим математичним очікуванням  ; довірча ймовірність .

Шуканий довірчий інтервал ( ;  ), Де ;

 - Квантиль розподілу хі-квадрат з N ступенями свободи рівня p.

Довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини при невідомому математичному очікуванні. Вихідні дані: вибірка x1, x2, ?, xN обсягу N з нормально розподіленої генеральної сукупності; довірча ймовірність .

Шуканий довірчий інтервал ( ;  ), Де  - Квантиль розподілу хі-квадрат з k ступенями свободи рівня p.

Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини.

Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення знаходиться в вигляді  , де  - Довірчий інтервал для дисперсії.

Питання 47. Статистична гіпотеза і статистичний критерій прийнятності гіпотези. Помилки першого і другого роду.

Будь-яке припущення про властивості випадкової величини, засноване на обробці вибірки (серії її спостережень), називається статистичної гіпотезою.

Спосіб (алгоритм), що дозволяє за результатами такого зіставлення прийти до висновку про прийнятності гіпотези, і називається критерієм. Звучати це може приблизно так: - "Якщо T  Tкр, то гіпотеза Н0 приймається ".

В результаті прийняття певного рішення можливі чотири варіанти - два вірних і два помилкових.

 - Рівень значущості (ймовірність відкинути істину - помилки 1-го роду).

 - Ймовірність погодитися з хибним - помилки 2-го роду.

Питання 48. Стандартні параметричні гіпотези про числовому значенні математичного очікування, про рівність математичних очікувань, про числовому значенні дисперсії нормального розподілу, про рівність дисперсій двох

нормальних розподілів, про числовому значенні ймовірності події, про рівність можливостей двох подій.

Статистичні гіпотези, в яких робляться припущення про істоту невідомого параметра  , називають

параметрическими гіпотезами.

Емпірична функція розподілу | Про числовому значенні математичного очікування.


Незалежність випадкових величин. | Числові характеристики випадкових векторів. Математичне сподівання, дисперсія, ковариация. | Коефіцієнт кореляції та його св-ва. Кореляція і статистична залежність випадкових величин. | Закон розподілу випадкової величини, що є функцією від багатовимірної випадкової величини. | Граничні теореми теорії ймовірностей. Закон великих чисел. Теорема Чебишева. | Граничні теореми теорії ймовірностей. Закон великих чисел. Теорема Бернуллі. | Центральна гранична теорема. | Теорема про диверсифікацію. | Варіаційний і статистичні ряди. Характеристики вибірки. | Групувати статистичний ряд. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати