Головна

Зауваження.

  1. Зауваження.
  2. Зауваження.
  3. Зауваження.
  4. Зауваження.
  5. Зауваження.
  6. Зауваження. У доведенні теореми 10 замість формули (46) зручніше скористатися наступною

Формули (1), (2), (3) і (4) називаються формулами чисельного диференціювання. При цьому формула (1) - визначає праву разностную похідну і має порядок точності  , Формула (2) - визначає ліву разностную похідну і має порядок точності  , Формула (3) - визначає центральну різницеву похідну першого порядку і має порядок точності  , Формула (4) - визначає центральну різницеву похідну втоякого порядку і має порядок точності .


35-36. чисельні методи розв'язання задачі Коші.

Завдання для ОДУ першого порядку для функції однієї змінної ставиться таким чином

 (5) Більш загальна постановка задачі Коші для диференціального рівняння n-го порядку

 (6)

тут  - Задані числа (початкові умови). Завдання (6) за допомогою заміни змінних

,  . зводиться до системи диференціальних рівнянь першого порядку:

 (7)

Систему (7) можна переписати у векторному вигляді:  , Де (8) , ,  . Система (8) досліджується і вирішується аналогічно одновимірної задачі Коші (5), тому важливо вивчити, перш за все, чисельні методи розв'язання задачі (5). В курсі математичного аналізу формулюється і доводиться теорема існування і єдиності рішення задачі Коші. Відзначимо, що для виконання теореми необхідно і достатньо, щоб функція  мала безперервні приватні похідні в замкнутій обмеженій області  на площині  . Будемо шукати рішення задачі (5) в прямокутниках  Введемо сітку на осі ,  Найпростіший ітераційний процес вирішення (5) на сітці  виходить, якщо апроксимувати похідну  на сітці правої кінцевої різницею. Позначаючи наближене рішення на сітці  , отримаємо  або

 (9)

Ітераційна процедура (9) називається "Метод Ейлера" (Або "метод ламаних"). Дамо графічну ілюстрацію методу.

 
 

 Почавши рух з точки  на точному вирішенні  , Ітераційне рішення утворює ламану лінію, кожен відрізок якої є дотичну до кривої  , Що проходить через дану точку. наприклад,  - Рівняння дотичної до u(x) В точці .  де u1(x1) -та Інтегральна крива, яка проходить через точку (x1, y1). З малюнка видно, що помилка росте з номером k. З'ясуємо, який порядок цієї помилки в гратчастої нормі

Оцінка похибки методу Ейлера.Будемо вважати, що помилка округлення має порядок не менший, ніж  . Тоді з (9) слід:  (10) Розкладемо точне рішення  завдання (5) в точці  з такою ж точністю:  (11) Віднімемо (11) з (10) ?

 (12)

де  В силу умов теореми існування і єдиності приватні похідні  обмежені в прямокутнику :  позначимо  і оцінимо (12) по модулю  (13)  за умовою. позначимо  (14)

Теорема 2.Для методу Ейлера має місце наступна оцінка похибки:

 (15)

 З (13) випливає (рекурсія назад)

Використовуючи алгебраїчне тотожність  отримуємо

 (16)

(В останньому нерівності використано властивість другого чудового краю) З огляду на, що

 отримаємо  , Т. Е. Оцінку (15).

Зауваження. Зі співвідношення (16) випливає, що 1. Помилка зростає з номером кроку k. 2. Порядок помилки в методі Ейлера .


37-39. методи Рунге-Кутта.

Методи Рунге-Кутта - Це група ітераційних методів розв'язання задачі Коші (4), яка характеризується наступними умовами: 1) Це однокрокові методи, т. Е. Під час переходу з точки  в точку  використовується лише інформація про попередню точці  . Цій умові відповідає така загальна запис итерационной процедури  , (17) де  виражається через значення функції  в точці  або близьким до неї (зсунутим на частку кроку). 2. Процедура (16) узгоджується з рядом Тейлора аж до членів порядку  , де p -порядок методу. 3. Метод не використовує похідних від  , А вимагає лише обчислення функції в різних точках сітки, причому число обчислень функції - мінімально можливе для даного порядку. Зауважимо, що метод Ейлера є окремим випадком методу Рунге-Кутта, що має найменший перший порядок точності. Розглянемо один із прикладів підвищення порядку точності методу Рунге-Кутта (16) до другого порядку. Уявімо  у вигляді такої лінійної комбінації  . розкладемо функцію  в точці  в ряд Тейлора до членів першого порядку включно

 . Підставляючи ці формули в (16), отримаємо:

 . (18) (всі вхідні в праву частину функції беруться в точці  ) Аналогічне розкладання по Тейлору напишемо для функції  , Використовуючи рівняння  . (19) Вимагаючи збігу коефіцієнтів розкладів (18) і (19) при однакових ступенях h, Отримаємо систему рівнянь для невідомих коефіцієнтів :

 (20)

Система (20) недоопределена. Тому один з коефіцієнтів можна задати довільно. Наприклад, між іншим  . Вирішуючи (20), отримаємо

 . Ітераційна процедура (17) набуває вигляду

 . (21)

З огляду на результат теореми 2, робимо висновок, що точність цього методу  , Т. Е. Даний метод - другого порядку.

Розглянемо деякі окремі випадки процедури (21).

Відкидаючи похибка, отримуємо

 . (22)

Отриманий метод Рунге-Кутта носить назву "предиктор-коректор". Щоб прояснити сенс цієї назви розіб'ємо процедуру (22) на два етапи:

На першому етапі "передбачаємо" значення  за методом Ейлера. На другому етапі це значення коректується шляхом усереднення кутових коефіцієнтів в точках и  . За рахунок корекції, точність даного методу і підвищується на порядок в порівнянні з методом Ейлера.

Згідно (21), отримуємо

 . (23)

позначимо

.

Тоді (23) розбивається на два етапи:

На першому етапі знаходимо  - Прогнозоване значення на половинному кроці від точки  за методом Ейлера.

Обчислюємо нахил інтегральної кривої в точці  , І на другому етапі, рухаючись по дотичній з даними кутовим коефіцієнтом з точки (  ) в точку (  ), Отримуємо остаточно  Отриманий метод носить назву "модифікований метод Ейлера".



Релаксаційні методи. | Зауваження 2.

Земечаніе. | Приклад 2. | Деякі загальні властивості ортогональних поліномів. | Перші застосування многочленів Чебишева | Формули Ньютона-Котеса. | Квадратурні формули Гаусса-Крістофеля. | Теорема 2. | Метод простих ітерацій для функціональних рівнянь. | Найпростіші слідства з визначень. | Деякі визначення. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати