Головна

Релаксаційні методи.

  1. R-методи.
  2. Аналітичні (причинно-наслідкові) методи.
  3. Аналітичні методи.
  4. Біохімічні методи.
  5. Питання №18: Конкуренція, її форми і методи. Конкуренція і монополія. Основні моделі ринку. Антимонопольне законодавство і його особливості в сучасній Росії.
  6. Питання. Пенітенціарна психологія, завдання методи.
  7. Геофізичні методи.

Нехай задана система ЛАУ загального вигляду (першого роду): Ax = b; x, b Rn, . (1) Потрібно привести дану систему до виду x = Tx + d (2) з матрицею (оператором) Т, задовольняє умові  в будь-якої матричної нормі. Розглянемо найпростіший прийом такого перетворення. x = x-H (Ax-b), (3)

де Н деяка невироджена матриця. З (3) випливає, що x = Tx + d, де (4) T = E-HA, d = Hb.

Ітераційна процедура, заснована на представленні (3) xk= xk-1-H (Axk-1-b) (5) називається лінійної стаціонарної итерационной процедурою; при цьому матриця Т в поданні (4) називається матрицею переходу, а матриця Н - матрицею розщеплення.

В даному класі методів приведення системи (1) до виду (4) здійснюється за допомогою розщеплення матриці А, Тобто її подання у вигляді: A = D-CL-CU , (9) де

D =  - Діагональна матриця, CL= - строго нижня (ліва) трикутна матриця, CU= - строго верхня (права) трикутна матриця. Підставляючи уявлення (9) в систему (1) Ax = b  Dx = (CL+ CU) X + b  x = D-1(CL+ CU) X + D-1b  x = Tx + d, де T = D-1(CL+ CU) = D-1(D-A) = E- D-1A, d = D-1b, H = D-1 - матриця розщеплення. Одержуваний при цьому ітераційний метод називається методом Якобі. Необхідна умова збіжності:  (Інакше не існує D-1). Достатні умови збіжності у відповідності з теоремою 1:  . Або більш просту умову: нехай матриця А - Речова, причому  (Така матриця А називається матрицею зі строгим діагональним переважанням).

Метод Якобі може бути оптимізований таким чином. Знову скористаємося розкладанням (9) і запишемо систему у вигляді: x = D-1CLx + D-1CUx + d. (10) Неважко переконатися, що при покомпонентної записи (10)  , де

вектор gLx містить тільки перші (I-1) компонент вектора х , А вектор gUx - містить компоненти, починаючи з (xi + 1) . (11) Процедура (11) носить назву ітераційний метод Гаусса-Зейделя Умови збіжності - ті ж, що і для методу Якобі, але при цьому виходить додаткове прискорення процедури. Ефективніше прискорення збіжності методу Зейделя може бути досягнуто за допомогою прискорювального множника (як в узагальненому методі Річардсона). Виходить при цьому алгоритм носить назву "метод послідовної верхньої релаксації " і реалізується в два етапи:

 (12) де - релаксаційний параметр. якщо  , То при  итерационная процедура сходиться.

Теорема 1. Нехай система (4) має єдине рішення  стаціонарна процедура

 (6) сходиться до вирішення системи (4) при  тоді і тільки тоді, коли всі власні значення матриці Т по модулю менше 1.


33-34Чісленное диференціювання.

Існує два підходи до висновку формул чисельного диференціювання.

1. Інтерполяційний підхід. вважаємо  , де  - Інтерполяційний многочлен Лагранжа,  , Причому залишковий член формули диференціювання виражається через

недолік: при прагненні отримати досить високу точність доводиться використовувати велику кількість вузлів, в яких обчислюється значення функції. Якщо функція задана таблично, то такий підхід прийнятний.

2. Звичайно-різницева апроксимація, заснована на Тейлоровской розкладанні. Розглянемо цей підхід більш докладно. Нехай задана сітка  , Де h - крок сітки

Теорема 1.Мають місце наступні твердження: Нехай

 . (1)  . (2)

 . (3)

 (4)

 Для визначеності доведемо (4): використовуємо Тейлоровской розкладання в точках x1 і x-1

.

Складаючи ці дві формули, отримаємо .

В силу безперервності четвертої похідної

.



Деякі визначення. | Зауваження.

Запис интерполяционного многочлена для рівновіддалених вузлів. | Земечаніе. | Приклад 2. | Деякі загальні властивості ортогональних поліномів. | Перші застосування многочленів Чебишева | Формули Ньютона-Котеса. | Квадратурні формули Гаусса-Крістофеля. | Теорема 2. | Метод простих ітерацій для функціональних рівнянь. | Найпростіші слідства з визначень. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати