Головна

Метод простих ітерацій для функціональних рівнянь.

  1. Стандартний алгоритм симплекс-методу
  2. DFD - методологія в проектуванні ІС
  3. I.3.3. Методи виносу в натуру проектних точок.
  4. I.3.4. Методи підготовки даних для перенесення проекту на місцевість.
  5. III. Опис експериментальної установки та методу вимірювання
  6. III. Опис експериментальної установки та методу вимірювання
  7. III. Опис експериментальної установки та методу вимірювання

Затвердження 1. нехай  (Одновимірний випадок) і задана функція f (x), Яка задовольнить умові:

 (9) (Умова Ліпшиця з константою  на відрізку [a,b].)

тоді оператор f(x) - Стискає і рівняння f (x) = х має єдину нерухому точку, яку можна знайти методом простих ітерацій: .

 Дійсно, визначимо  . Отже, виконується умова (8) теореми 2, звідки і слід результат.

Затвердження 2. нехай  , причому  (10) Тоді оператор f(x) Є стискає.

 Згідно з теоремою про повну загальну середню  . Оцінимо це нерівність по модулю:  . Це говорить про те, що виконується умова (9) затвердження 1, значить, f(x) Дійсно стискає оператор.

Розглянемо задачу пошуку коренів рівняння  . Нехай відомі кордону для кореня цього рівняння і ми хочемо знайти цей корінь методом ітерацій. Якщо вдасться привести рівняння до виду x = f (x), так щоб виконувалася одна з умов затвердження 1 або затвердження 2, то в цьому випадку можна буде застосувати метод ітерацій. Таке перетворення, взагалі кажучи, не єдино, причому головна трудність полягає у визначенні того замкнутого обмеженого безлічі S (А в одновимірному випадку - відрізка [a,b]), Для якого крім умови стислості, виконується умова .

Затвердження 3.визначимо безліч  - замкнутий r- "Куля" з центром в точці х0 (В одновимірному випадку - відрізок). нехай оператор Т - Стискає на S і виконується така умова:  (11) Тоді для будь-якої точки  виконується: .

 Досить довести, що  маємо:  {Нерівність трикутника}

.


23 Метод Ньютона.

Нехай знову задано рівняння f (x) = 0. Запишемо його у вигляді  , де и  . нехай хк - Деяке наближення до кореня х * . Для прискорення збіжності ітерацій бажано, щоб  був якомога менше. покладемо  , тобто

 Звідси знаходимо, що  . Підставляючи в вихідне рівняння, отримуємо рекуррентную формулу:  . Це і є итерационная процедура Ньютона.


24. Чисельні методи лінійної алгебри.

До чисельних методам лінійної алгебри відносяться: чисельні методи рішення систем алгебраїчних рівнянь (ЛАУ), звернення матриць, обчислення визначника матриці, обчислення власних значень і власних векторів матриць. Чисельні методи розв'язання систем ЛАУ можна розбити на дві групи: прямі методи (метод виключення Гаусса і його модифікації) і так звані ітераційні методи. Метод Гаусса докладно розглядається в курсі лінійної алгебри, де, зокрема показується, що число арифметичних дій, що витрачаються на приведення системи до трикутного вигляду пропорційно n3. При обчисленні визначника методом Гауса витрачається  арифметичних дій. Незважаючи на очевидні переваги прямих методів (кінцівку дій), їх застосування не завжди можливо. якщо матриця A лінійної системи погано обумовлена, То внаслідок неминучих помилок округлення на ЕОМ, отримане наближене рішення системи може виявитися як завгодно далеким від точного рішення. Щоб розібратися в цьому питанні, нам знадобиться поняття норми матриці, спектра матриці і обговорити деякі додаткові властивості матриць, пов'язані з цими поняттями.


25.

Норми матриць. Спектральні властивості матриць. нехай  , Позначимо Mn - Безліч квадратних матриць  . Нехай кожній матриці  поставлено у відповідність число  . Це число називається нормою матриці A, Якщо виконуються наступні аксіоми:

1.  . 2.  . 3.  (Нерівність трикутника).

4.  (Кільцеве властивість).

Визначення.норма  називається мультипликативной, Якщо виконуються всі чотири аксіоми, і адитивної, Якщо виконуються перші три аксіоми.

Слідство.Якщо норма матриці A - Мультипликативна, відповідно до властивості 4:  . нехай  . Визначимо норму матриці наступним чином:

 . (1) Таким чином, певна норма матриці називається підпорядкованої векторної нормі .

Визначення.Якщо матрична норма задовольняє умові  , (2) то така норма називається узгодженої з нормою вектора.

Слідство 1.Будь-яка підпорядкована норма є також і узгодженої (зворотне взагалі кажучи, невірно).

 Дійсно, з (1) в силу визначення Супремум:  , Той факт, що зворотне невірно, підтверджується конкретними прикладами матричних норм, з якими ми познайомимося далі.

Слідство 2. нехай A=E і норма матриці - підпорядкована векторної нормі. Тоді, оскільки Ex=x, то  і з (1) негайно слід що  Отримане умова можна вважати необхідною умовою підпорядкованої норми. Визначимо деякі найбільш вживані на практиці матричні норми.

 - Евклидова норма (норма Фробеніуса: norm (a, 'fro') - в MATLAB),

 - "Столбцовая" норма (Norm (a, 1)),

 - "Рядкова" норма (Norm (a, inf)),

 - "Спектральна" норма (Norm (a) = norm (a, 2)), де  - так звані сингулярні числа матриці А.

Зауваження.Всі наведені вище норми матриць узгоджені з відповідною нормою вектора. спектральна норма  є до того ж і підпорядкованої евклідової нормі вектора. Крім того, серед усіх можливих норм, узгоджених з евклідової нормою вектора, спектральна норма приймає мінімальне значення.

Визначення 1.число  (Взагалі кажучи, комплексне) називається власним значенням матриці А, Відповідним власному вектору x, Якщо виконується умова:  . (3)

Визначення 2.Безліч всіх власних чисел матриці А  , Записаних з урахуванням їх кратності, називається спектром матриці А і позначається S(A).

Визначення 3.спектральним радіусом  квадратної матриці А називається максимальний з модулів її власних значень. Зауважимо, що система (3) еквівалентна наступній однорідної системи рівнянь:  . (4)

Як відомо з курсу лінійної алгебри, система (4) має нетривіальні рішення тоді і тільки тоді, коли  . (5) Рівняння (5) - рівняння алгебри n-го ступеня щодо .

Всі його коріння - власні числа матриці А. Має місце наступна

Теорема 1.Для будь-якої квадратної матриці  і будь-який узгодженої матричної норми має місце нерівність:

 нехай  - Довільне власне значення матриці A, і  - Відповідний власний вектор  . Оцінимо за нормою Визначення 4. сингулярним числом  матриці А називається власне значення матриці .

Визначення 5.матриця А називається позитивно (неотрицательно) певної (пишуть:  або  ), Якщо відповідна квадратична форма .

Теорема 2. | Найпростіші слідства з визначень.


Приклади класів функцій і відповідних нормованих просторів. | Приклад 1. | Інтерполяційний многочлен Ньютона. | Запис интерполяционного многочлена для рівновіддалених вузлів. | Земечаніе. | Приклад 2. | Деякі загальні властивості ортогональних поліномів. | Перші застосування многочленів Чебишева | Формули Ньютона-Котеса. | Квадратурні формули Гаусса-Крістофеля. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати