Головна |
Середні величини дають узагальнюючу характеристику сукупності по варьирующим ознаками, показують типовий для даних умов рівень цих ознак. Але поряд із середніми величинами велике практичне і теоретичне значення має вивчення відхилень від середніх. Для всебічної характеристики рядів розподілу необхідні показники варіації, що визначають міру, ступінь коливання окремих значень ознаки від середньої. У статистиці застосовується кілька показників варіації: розмах варіації, середнє лінійне (абсолютне) відхилення, дисперсія, середньоквадратичне відхилення і коефіцієнт варіації.
Розмах варіації характеризує межі зміни варьирующего ознаки. Він розраховується як різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки:
.
Величина розмаху залежить тільки від двох крайніх значень ознаки, що робить його певною мірою випадковою величиною. Тому виникає необхідність в інших показниках, які б враховували відхилення від середньої всіх значень ознаки. Одним з таких показників є середнє лінійне (абсолютне) відхилення.
Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних відхилень окремих варіант від середньої.
Так як алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю (одна з властивостей середньої арифметичної), то при обчисленні середнього лінійного відхилення беруться до уваги тільки абсолютні значення відхилень, без урахування знаків
(+ Або -). Якщо середня арифметична з відхилень є простою, то середнє лінійне відхилення розраховується за формулою:
.
Якщо ж середня арифметична з відхилень - зважена, то середнє лінійне відхилення:
.
Середнє лінійне відхилення - число іменоване; його розмірність відповідає розмірності варьирующего ознаки.
Дисперсією називається середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини:
.
При наявності частот використовується формула зваженої дисперсії:
.
Дисперсія має велике значення в аналізі. Однак її застосування як запобіжного варіації в ряді випадків буває не зовсім зручним, тому що розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності досліджуваного ознаки. Тому в разі її обчислення для вимірювання варіації ознаки з дисперсії витягають квадратний корінь і отримують середньоквадратичне відхилення:
або .
Це найбільш поширений показник варіації ознаки, він має ту ж розмірність, що і ознака.
Чим менше розмах варіації, середнє відхилення, дисперсія і середнє квадратичне відхилення, тим сукупність більш однорідна і тим типовіше середня величина. Недолік всіх цих показників варіації в тому, що вони мають розмірність і показують тільки абсолютну міру варіації. Щоб зіставити показник варіації із середньою розраховують відносну величину - коефіцієнт варіації ( ):
%.
Коефіцієнт варіації являє собою відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної. Чим цей коефіцієнт менше, тим типовіше середня, тим коливання ознаки менше, а сукупність однорідні.
За величиною коефіцієнта варіації можна судити про інтенсивність варіації ознаки, а отже, і про однорідність складу досліджуваної сукупності. Чим більше величина коефіцієнта варіації, тим більше неоднорідність сукупності. Існує шкала визначення ступеня однорідності сукупності залежно від значень коефіцієнта варіації.
Коефіцієнт варіації , % | Ступінь однорідності сукупності |
до 30 | однорідна |
30 - 60 | Середня |
60 і більше | неоднорідна |
Якщо в сукупності досліджується частка одиниць, що володіють тим чи іншим альтернативним ознакою, то дисперсія цієї ознаки визначається за формулою:
,
де q - питома вага одиниць сукупності, які мають досліджуваним ознакою;
p - питома вага одиниць, що володіють даними ознакою у всій сукупності.
Приклад. У трьох партіях продукції, представлених на контроль якості, було виявлено:
а) перша партія - 1000 виробів, з них 800 придатних, 200 бракованих;
б) друга партія - 800 виробів, з них 720 придатних, 80 бракованих;
в) третя партія - 900 виробів, з них придатних 855, бракованих 45 одиниць продукції.
Визначте в цілому для всіх партій наступні показники:
а) середній відсоток придатної продукції і середній відсоток браку;
б) дисперсію, середньоквадратичне відхилення і коефіцієнт варіації придатної продукції.
Рішення. Це приклад на визначення середньої величини і показників варіації альтернативної ознаки.
Середня величина альтернативної ознаки дорівнює р - питомій вазі одиниць, що володіють даними ознакою у всій сукупності.
Дисперсія альтернативної ознаки визначається:
,
де q - питома вага одиниць сукупності, які мають досліджуваним ознакою.
Розглянемо розрахунок даних показників на нашому прикладі:
а) Середній відсоток придатної продукції в трьох партіях дорівнює:
або 88,0%.
Середній відсоток браку:
або 12,0%.
б) Дисперсія питомої ваги придатної продукції
Середнє квадратичне відхилення питомої ваги придатної продукції:
.
Коефіцієнт варіації питомої ваги придатної продукції в загальному випуску продукції:
% = 36,4%.
Структурні середні величини | Правило додавання дисперсій
Сутність і значення середньої величини | Види середніх і способи їх обчислення | Види статечних середніх | Основні властивості середньої арифметичної |