На головну

Сходяться ряди комплексних чисел

  1. Абсолютно збіжні і умовно збіжні інтеграли
  2. Аксіома безперервності безлічі дійсних чисел. Точні межі числових множин.
  3. Алгебраїчна форма комплексних чисел
  4. Алгебраїчне додавання двійкових чисел в зворотному коді.
  5. Алгоритм перекладу чисел з десяткової системи числення в двійкову.
  6. Алгоритми обробки послідовностей чисел.
  7. Визначення чісельності облікового персоналу

визначення: Числовим рядом комплексних чисел z1, z2, ..., zn, ... називається вираз виду

z1 + z2 +..., zn +...= , (3.1)

де zn називають загальним членом ряду.

визначення: число Sn = z1 + z2 +..., zn називається частковою сумою ряду.

визначення: Ряд (1) називається збіжним, якщо сходиться послідовність {Sn} Його часткових сум. Якщо ж послідовність часткових сум розходиться, то і ряд називають розбіжним.

Якщо ряд сходиться, то число S =  називається сумою ряду (3.1).

Так як

zn = xn + iyn,

то ряд (1) записується у вигляді

= + .

теорема: Ряд (1) сходиться тоді і тільки тоді, коли сходяться ряди и  , Складені з дійсних і уявних частин членів ряду (3.1).

Ця теорема дозволяє перенести ознаки збіжності поруч з дійсними членами на ряди з комплексними членами (необхідний ознака, ознака порівняння, ознака Д'Аламбера, Коші і ін.).

Визначення. Ряд (1) називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд  , Складений з модулів його членів.

Теорема. Для абсолютної збіжності ряду (3.1) необхідно і достатньо, щоб абсолютно сходилися ряди и .

Приклад 3.1. З'ясувати характер збіжності ряду

Рішення.

Розглянемо ряди

и

.

Покажемо, що ці ряди сходяться абсолютно. Для цього доведемо, що ряди

и

 сходяться.

Так як  , То замість ряду  візьмемо ряд  . Якщо останній ряд сходиться, то за ознакою порівняння збігається і ряд .

збіжність рядів и  доводиться за допомогою інтегрального показника.

;

Це означає, що ряди и  сходиться абсолютно і, згідно з останньою теоремі, вихідний ряд сходиться абсолютно.


4. Статечні ряди з комплексними членами. Теорема Абеля про статечних рядах. Коло і радіус збіжності.

Визначення. Статечним рядом називається ряд виду

 , (4.1)

де  ...,  - Комплексні числа, звані коефіцієнтами ряду.

Областю збіжності ряду (4.I) є коло .

Для відшукання радіуса збіжності R даного ряду, що містить всі ступені  , Використовують одну з формул:

,

 (4.2)

Якщо ряд (4.1) містить не всі ступені  , То для відшукання  потрібно безпосередньо використовувати ознака Д'Аламбера або Коші.

Приклад 4.1. Знайти коло збіжності рядів:

а)  ; б) .

Рішення:

а) Для відшукання радіуса збіжності цього ряду скористаємося формулою

.

У нашому випадку

.

тоді

.

Звідси коло збіжності ряду задається нерівністю

.

б) Для відшукання радіуса збіжності ряду використовуємо ознака Д'Аламбера.

маємо:

Для обчислення границі двічі використовували правило Лопіталя.

За ознакою Д'Аламбера ряд буде сходитися, якщо  . Звідси маємо коло збіжності ряду .


5. Показова і тригонометричні функції комплексної змінної.

6. Теорема Ейлера. Формули Ейлера. Показова форма комплексного числа.

7. Теорема додавання. Періодичність показовою функції.

показова функція  і тригонометричні функції и  визначаються як суми відповідних статечних статечних рядів, а саме:

,

,

.

Ці функції пов'язані формулами Ейлера:

,

,

.

функції

,

звані, відповідно, гіперболічним косинусом і синусом, пов'язані з тригонометричним косинусом і синусом формулами

,

.

функції , , ,  визначаються як і в дійсному аналізі.

Для будь-яких комплексних чисел и  має місце теорема додавання:

.

Будь-яке комплексне число  може бути записано в показовою формі:

,

 - Його аргумент.

Приклад 5.1. знайти

Рішення.

.

Приклад 5.2. Уявіть число  в показовою формі.

Рішення.

Знайдемо модуль і аргумент цього числа:

,

тоді отримаємо

.


8. Межа, безперервність і рівномірна безперервність функцій комплексної змінної.

нехай Е - Деякий безліч точок комплексної площині.

Визначення. Кажуть, що на безлічі Е задана функція f комплексної змінної z, якщо кожній точці z  E за правилом f поставлено у відповідність одне або кілька комплексних чисел w (В першому випадку функція називається однозначної, в другому - багатозначною). позначимо w = f (z). E - Область визначення функції.

Будь-яку функцію w = f (z) (z = x + iy) можна записати у вигляді

f (z) = f (x + iy) = U (x, y) + iV (x, y).

U (x, y) = R f (z) називають дійсною частиною функції, а V (x, y) = Im f (z) - Уявною частиною функції f (z).

Визначення. нехай функція w = f (z) визначена і однозначна в деякій околиці точки z0, виключаючи, можливо, саму точку z0. Число А називається границею функції f (z) в точці z0, Якщо для будь-якого ? > 0 можна вказати таке число ?> 0, що для всіх z = z0 і задовольняють нерівності | Z - z0| , Буде виконуватися нерівність | f (z) - A |

записують

.

З визначення випливає, що z > z0 довільним чином.

Теорема. Для існування границі функції w = f (z) в точці z0= x0 + iy0 необхідно і достатньо існування меж функції U (x, y) и V (x, y) в точці (x0, y0).

Визначення. нехай функція w = f (z) визначена і однозначна в деякій околиці точки z0, Включаючи саму цю точку. функція f (z) називається неперервною в точці z0, якщо

.

Теорема. Для безперервності функції в точці z0 = x0 + iy0 необхідно і достатньо, щоб були безперервні функції U (x, y) и V (x, y) в точці (x0, y0).

З теорем випливає, що найпростіші властивості, що відносяться до межі і безперервності функцій дійсних змінних, переносяться на функції комплексної змінної.

Приклад 7.1. Виділити дійсну і уявну частини функції .

Рішення.

У формулу, що задає функцію, підставимо

, .

отримаємо

.

Звідси отримаємо

,

.

Приклад 7.2.Чи має межа в точці z = 0 функція  . Знайти точки безперервності функції.

Рішення.

Виділивши дійсну і уявну частини функції f (z), маємо

,

.

З'ясуємо, чи має функція  межа в точці (0,0).

нехай x = 0, y ® 0.

тоді

.

нехай x ® 0, y = x2.

тоді

.

Бачимо, що при прагненні точки (X, y) до нуля за двома різними напрямами, функція U (x, y) має різні межі. Це означає, що в точці z = 0 функція f (z) межі не має. Далі, функція f (z) визначена в точках, де .

нехай z0 = x0 + iy0, Одна з таких точок.

тоді

.

Це означає, що в точках z = x + iy при y  0 функція неперервна.


9. Послідовності і ряди функцій комплексної змінної. Рівномірна збіжність. Безперервність статечного ряду.

Визначення сходящейся послідовності і сходиться ряду функцій комплексної змінної рівномірної збіжності, відповідні теорії про рівну збіжності, безперервності границі послідовності, суми ряду формуються і доводяться точно так же, як і для послідовностей і рядів функцій дійсної змінної.

Наведемо необхідні для подальшого факти, що стосуються функціональних рядів.

Нехай в області D визначено послідовність однозначних функцій комплексної змінної {fn (z)}. Тоді символ:

 називається функціональним рядом.

якщо z0 належить D фіксовано, то ряд (1) буде числовим.

Визначення. функціональний ряд(1) називається збіжним в області D, Якщо для будь-якогоzналежить D , Відповідний йому числовий ряд сходиться.

якщо ряд (1) сходиться в областіD, То в цій області можна визначити однозначну функцію f (z) , Значення якої в кожній точці z що належить Dдорівнює сумі відповідного числового ряду. Цю функцію називають сумою ряду (1) в області D .

Визначення. якщо

для будь-якогоz належить D,виконується нерівність:

то ряд (1) називається рівномірно збіжним в області D.



Підстави звільнення від відповідальності. Поняття випадку та непереборної сили. | Теорема. ознака Вейєрштрасса

Теорема. | Інтегральне визначення логарифмічної функції | Інтегральна формула Коші | Застосування теорії лишків |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати