Головна

Фундаментальна система рішень

  1. AB0-СИСТЕМА
  2. I. 1.5. Двухпірамідная система Хеопса-Голоду в структурі подвійного квадрата
  3. IV. Серцево-судинна система
  4. JAR-OPS 1.770 Додаткова киснева система - літаки з наддувом кабіни
  5. JAR-OPS 1.775 Додаткова киснева система - літаки без наддуву кабіни
  6. Rh-СИСТЕМА
  7. Sf 44. Наука як соціальний інститут, система відтворення

Рішення однорідної системи мають такі властивості, якщо вектор ? = (?1, ?2, ..., ?n) є рішенням системи (1.53), то і для будь-якого числа k вектор k? = (k?1 k?2, ..., k?n) також буде вирішенням цієї системи. Якщо рішенням системи (1.53) є також і вектор ? = (?1, ?2, ..., ?n), то сума ? + ? також буде рішенням

цієї системи. Звідси випливає, що будь-яка лінійна комбінація рішень однорідної системи також є вирішенням цієї системи.

Як ми знаємо з 1.1.4, будь-яка система n-мірних векторів, що складається більш ніж з n векторів, є лінійно залежною. Таким чином, з безлічі векторів-рішень однорідної системи (1.53) можна

вибрати базис, т. е. будь-який вектор-рішення даної системи буде лінійною комбінацією векторів цього базису. Будь-який такий базис називається фундаментальною системою рішень (ФСР) однорідної системи лінійних рівнянь. Справедлива наступна теорема.

Теорема 1.8. Якщо ранг r системи однорідних рівнянь (1.53) мен-ше числа невідомих п, то будь-яка її фундаментальна система рішень складається з (n - r) рішень.

Зазначимо тепер спосіб знаходження фундаментальної системи рішень. Нехай система однорідних рівнянь (1.53) має ранг г

xr + 1, ..., xn:

x1 = ?11x1 + ?12x2 + ... + ?1n-rxn

...

xr = ?r1xr + 1 + ?r2xr + 2 + ... + ?rn-rxn

Виділимо приватні рішення однорідної системи (1.53) за наступним принципом. Для знаходження першого вектора-рішення х, приймемо значення вільних змінних xr + 1 = 1, xr + 2 = xr + 3 = xn = 0. потім

знаходимо друге рішення х2: приймаємо х,. + 2 = 1, а решта г - 1 вільні змінні приймемо рівними нулю. Іншими словами, ми послідовно присвоюємо кожної вільної змінної одиничне

значення, вважаючи інші нулями. Таким чином, фундаментальна система рішень (ФСР) у векторній формі з урахуванням перших г базисних змінних (1.54) має вигляд

x1 = (?11, ?21, ..., ?r1, 1, 0, ... 0),

х2 = (?12, ?22, ..., ?r2, 0, 1, 0, ..., 0),

... ...

xn-1 = (?1n-r, ?2n-r, ..., ?r n-r, 0, ..., 0, 1)

(1.55)

Фундаментальна система рішень (1.55) є одним з фундаментальних наборів рішень однорідної системи (1.53).

 



Однорідні системи лінійних рівнянь | Загальне рішення системи рівнянь у векторній формі:

Операції над векторами | Базис і ранг системи векторів. | Операції над визначниками | Поняття оберненої матриці | Системи лінійних алгебраїчних рівнянь | Методи рішення систем лінійних алгебраїчних | Приклад 1. Записати в векторному вигляді. | Власні вектори симетричною матриці. побудова ортонормированного базису. | Загальна постановка задачі математичного програмування. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати