Головна |
У практичних завданнях часто виникає необхідність представляти складну аналітичну функцію більш простий, або використовувати функції, задані таблично. Необхідно для подальшого дослідження уявити табличну функцію у вигляді аналітичної.
Існують різні способи отримання таких функцій. Один з них інтерполювання. У загальному вигляді, завдання інтерполяції формулюються так:
Нехай функція y = f (x) задана в (n + 1) точці x0, x1, ..., Xn своїми значеніяміy0, y1, ..., Yn, Тобто y0= F (x0), ..., Yn= F (xn).
Потрібно підібрати досить просту функцію , Що задовольняє наступним умовам:
1) У точці x0, x1, ..., Xn, значення функції повинні збігатися зі значеннями даної функції: , K = 0,1, ..., n.
2) У всіх інших точках з області визначення, виконується наближена рівність: .
функція називається інтерполюючої, Процес її побудови - интерполированием, точки x0, x1, ..., Xn- Вузлами інтерполяції. Інтерполююча функція підбирається з певного класу функцій. Часто в якості такої функції береться многочлен n-го ступеня, процес побудови такого многочлена - параболічне інтерполювання.
Нехай функціяy = f (x) задана в (n + 1) вузлі інтерполяції своїми значеннями.
многочлен
називається інтерполяційним многочленом Лагранжа.
Інтерполяційний многочлен для n = 4:
Як перевірити, що це многочлен інтерполяційний? За визначенням (перша умова).
Таблиця кінцевих різниць. Властивості кінцевих різниць
Нехай функція y = f (xi) Задана в (n + 1) точці. точки x0, x1, ... - Рівновіддалені, тобто xi= x0+ Ih, гдеi = 0..n, h = (b-a) / n.
Кінцевими різницями 1-го порядку називають числа, рівні приращениям функції, тобто
де k = 0..n-1.
Кінцевими різницями другого порядку називають числа, рівні приращениям кінцевих різниць 1-го порядку, тобто
де k = 0..n-2.
У загальному випадку кінцеві різниці s-го порядку називають числа, рівні приросту кінцевих різниць (s-1) порядку, тобто
В результаті обчислень отримуємо таблицю наступного виду. Верхня діагональ використовується для побудови першої інтерполяційної формули Ньютона. Нижня - для другої інтерполяційної формули Ньютона.
Розглянемо властивості кінцевих різниць:
1) З - постійна,
2)
3)
4) Це рівність показує, що кінцевою різницею многочлена n-го ступеня буде многочлен (n-1) ступеня.
З'ясуємо, яким чином пов'язані значення кінцевих різниць і значення функції.
За визначенням кінцевих різниць першого порядку отже, перетвориться до наступного виду:
Продовжуючи процес, отримаємо
Існує і зворотна залежність функції від кінцевих різниць.
s w: space = "720" /> ">
Точні і наближені методи розв'язання систем лінійних рівнянь. Метод квадратних коренів | Чисельні методи інтерполяції функцій. Постановка задачі. Перша формула Ньютона для рівновіддалених вузлів
Основи теорії похибок | відділення коренів | Чисельні методи розв'язання нелінійних рівнянь. Постановка задачі. Уточнення кореня методом половинного ділення | Чисельні методи розв'язання нелінійних рівнянь. Постановка задачі. Уточнення кореня методом хорд | Чисельні методи розв'язання нелінійних рівнянь. Постановка задачі. Уточнення кореня методом дотичних | Чисельні методи розв'язання нелінійних рівнянь. Постановка задачі. Уточнення кореня комбінованим методом | Точні і наближені методи розв'язання систем лінійних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса) | Постановка завдання чисельного інтегрування. Формули прямокутників. Подвійний перерахунок. | Постановка завдання чисельного інтегрування. Формула трапецій. | Постановка завдання чисельного інтегрування. Формула Сімпсона |